本文总结了图论第一次课的重点内容
1. 图论的发展历史
起源：
- 哥尼斯堡七桥问题(1736年)
缓慢发展：19世纪中叶~20世纪中叶
- 其中出现了：周游世界问题(哈密尔顿问题,1857年)，四色问题(地图染色问题，1852年)，第一本图论著作(哥尼，1936年)
快速发展：
- 二十世纪中叶至今
重点1：
欧拉图问题(七桥问题)容易：通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路(回路)，相应的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（Euler Graph），具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图
哈密尔顿图难：通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路（回路），就是哈密顿通路（回路）。存在哈密顿回路的图就是哈密顿图。
2. 图的定义与基本概念
2.1. 图的定义
G=(V,E),其中V是顶点集(vertex)，E是边集(edge)。
重点2：
表示无向边最好用{v1,v2},表示有向边最好用<v1,v2>; (v1,v2)的含义存在争议。
2.2 图的相关概念
有限图：顶点集和边集均有限的图；
注：无限图也大量存在。如整数集上表示整除关系的图就大量存在；但本课程只涉及有限图。
平凡图： 只有一个顶点的图。
重点3：
平凡图能不能有环暂时还存在争议，万一考试考了认为不能有环！考试前记得解决
空图：只有点没有边的图；
n阶图：顶点数为n的图；
(n,m)图：顶点数为n，边数为m的图；
边的重数：连接爱你哥哥相同顶点的边的条数称为边的充数；
重边：重数大于1的边称为重边；
环：端点重合的边；
简单图：无环无重边的图；
复合图：不是简单图的图；
注：很多结论要注意是针对简单图的，使用时应注意条件！
顶点u与v相邻接；规定，一个顶点与其自身是邻接的。
边e1与边e2相邻接。
2.3 图的同构
重点4 图的同构的定义
如果两个图，其顶点数相同，边数相同，结构形式也相同，则两个图同构；
设图G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)，若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1v1属于E1当且仅当u2v2属于E2，且u1v1与u2v2重数相同。则G1与G2同构。
例：4个顶点的非同构的所有简单图有多少个？
思路：按边数从0~C42=6依次讨论。
图的同构的判定：很难的问题，是不是NP难尚存在争议。
参考：
张先迪等《图论及其应用》
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