离散数学 第四篇 图论01 图的基本概念

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1. 无序积

用符号$(a,b)$来表示，与序偶类似，但是序偶是有顺序的，就是有方向的，而无序积是无向的

2. 图的表示

2.1 图的集合表示

$G=\left\{ <V,E> \right\}$

2.2 图的图形表示

2.3 邻接矩阵

第$i$个点到第$j$个点有一条边，则邻接矩阵第$i$行$j$元素

2.4 邻接点与邻接边

环：两个端点相同的边，又称为自回路

零图：仅有孤立结点组成的图
平凡图：仅含一个结点的零图
（n,m）阶图：含有n个结点，m条边的图

2.5 图的分类

2.5.1 有无方向分

无向图：
每条边都无向
有向图：
每条边都有向
混合图：
边集里既有无向边又有有向边

2.5.2 有无平行边

多重图：
有平行边的图，在无向图中，连个节点有复数条边即为有平行边，而在有向图中，还需边方向一致。
平行边的条数为边的重数

2.5.3 边或节点有无含权 分

2.6 图的操作

删除结点：
$G-V'$
注意，删掉结点，也就删去了结点为端点的边

边的收缩：
$G \backslash e$
将边的两个端点用一个新的节点来代替

加新边：
$G$

2.7 子图

2.8补图

类比于集合的概念，完全图即论域（全集），完全图删去图$A$，剩下的就是$A$的补图$B$

2.8 结点的度数与握手原理

邻接矩阵与度数计算
设$A$的邻接矩阵为：

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
则 $A$中第几行元素之和为第几个结点的出度数
$A$中第几列元素之和为第几个结点的入度数

握手原理及其推论
所有结点的度数等于边数的两倍
1、度数为奇数的结点数为偶数
2、所有结点的$入度数 = 出度数 = 边数$

2.9 图的同构