图与网络的基本概念与数据结构

一.图与网络的基本概念

图论中图是由点和边构成的，可以反映一些对象之间的关系。
在这里插入图片描述

无向图

无向图（简称图）：没有方向，由点和边构成的图，记做G =(V , E)，点是V，边是E。
注：图论的图与几何图、工程图不一样。
因为一般情况下的图中点的相对位置及点间连线长短，对于反映对象之间的关系并不是重要的。

联结 $v_i{_1}$ 和 $v_{ik}$ 的链:在无向图G中，若存在一个点边的交错序列（ $v_{i1},e_{i1},v_{i2},e_{i2},...v_{i_{k-1}},e_{i_{k-1}},c_{ik}$ ）其中 $v_{ik}$ 属于V(G), $e_{ij}$ 属于E（G）

联结 v_{i1} 和 v_{ik} 的圈：在上述的链中，若 v_{i1} = v_{ik}，也就是首尾相连。

连通图：对于一个无向图，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链。

简单图：一个图如果它既没有环也没有平行边（两条边连接同一对顶点）,称为简单图(simple graph)。
在这里插入图片描述
完全图:其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连

赋权图：对无向图的每一条边（ $v_i,v_j$ ），都有一个数（称为权重） $w_{ij}$ 对应。

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图
在这里插入图片描述
顶点的度：与顶点v关联的边的个数称为顶点v 的
度(degree) （环计两度），记作 d(v) .
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点(odd point) ，度为偶数的点称为偶点(even point) 。

有向图

有向图：由点和弧构成的图，记做D =(V , A)，其中V是图D的点集，A是图D的弧集。
注：无向图是一种特殊的有向图，无向图的边实际上就是等价于两条方向相反的弧。
联结 $v_i{_1}$ 和 $v_{ik}$ 的路:在无向图G中，若存在一个点边的交错序列（ $v_{i1},e_{i1},v_{i2},e_{i2},...v_{i_{k-1}},e_{i_{k-1}},c_{ik}$ ）其中 $v_{ik}$ 属于V(D), $e_{ij}$ 属于V（D）
*联结 v_{i1} 和 v_{ik} 的回路：在上述的链中，若 v_{i1} = v_{ik}，也就是首尾相连。
赋权图：对无向图的每一条弧（ $v_i,v_j$ ），都有一个数（称为权重） $c_{ij}$ 对应。
网络：在赋权的有向图D中指定一点为发点(记为 $v_s$ )，指定另一点为收点(记为 $v_t$ )，其余的点为中间点，并把 D 中的每一条弧的赋权数 $c_ij$ 称为弧 $(v_i,v_j)$ 的容量，这样的赋权有向图 D 就称为网络。

二.图与网络的数据结构

描述图与网络的3种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、弧表表示法

邻接矩阵表示法

邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）的形式存储在计算机中。图 G=(V,A) 的邻接矩阵是如下定义的：C是一个 $n*n$ 的0-1矩阵，即
在这里插入图片描述
也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为1；否则为0。

例一：对于下图，可以用邻接矩阵表示为
在这里插入图片描述
解释：现在有五个图，邻接矩阵a就是 $5*5$ 的方阵，∵ 1→2，∴a[1][2]=1；
∵1→3所以a[1][3]=1；∵ 4→3，∴a[4][3]=1，其他都是一样的，所有的都写出来就是：
同样，对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的矩阵表示。只是此时一条弧所对应的元素不再是1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以用多个矩阵表示这些权。

关联矩阵表示法

关联矩阵表示法是将图以关联矩阵（incidence matrix）的形式存储在计算机中．
图 $B=(b_{ik})_{n*m}\in({-1 ,0 ,1}) ^{n*m}$ 的关联矩阵B是如下定义的：B是一个n*m的矩阵，即
在这里插入图片描述

如果一个顶点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为1；如果一个顶点是一条弧的终点，则关联矩阵中对应的元素为-1；如果一个顶点与一条弧不关联，则关联矩阵中对应的元素为0。

例2 对于例1所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为 (1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为（列单位为弧）在这里插入图片描述
这个图有4个节点，7条连线，所以是 $4*7$ 的矩阵，每一列都是只有一个1，一个 -1。
看e1这条线，头是v1尾是v2，所以v1=1，v2=-1
e3，头是v3，尾是v4，所以v3是1，v4是-1；
)

弧表表示法

弧表表示法将图以弧表（arc list）的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是图的弧集合中的所有有序对。
假设例1中的弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为8，9，6，4，0，3，6和7，则弧表表示如下：
在这里插入图片描述

最短路问题 (Shortest Path Problem)

最短路问题：对一个赋权有向图中指定的两个点 $v_s$ 和 $v_t$ 找到条从 $v_s$ 到 $v_t$ 的路，使得这条路上所有弧的权数总和最小，这条路被称为从 $v_s$ 到 $v_t$ , 的最短路，这条路_上所有弧的权数的总和被称为从 $v_s$ 到 $v_t$ 的距离。
在这里插入图片描述

Dijkstra算法

如上图，带权值的最短路径长度就是黄线标出来的为7
求解最短路的迪克斯特拉Dijkstra算法(双标号法）
双标号即：对图中的点 $v_j$ 赋予两个标号 $(l_j,k_j)$ ，其中 l_j 表示从起点 $v_s$ 到 $v_j$ 的最短路的长度， $k_j$ 表示在 $v_s$ 至 $v_j$ 的最短路上前面一个邻点的下标，从而找到所求的最短路及其距离。

${\mathbb{\color{Red}下面给出Dijkstra算法的基本步骤：}}$

先给起点 $v_s$ 标号:(0,s)，表示从 $v_s$ 到 $v_s$ 的距离为0， $v_s$ 为起点。
找出已标号的点集 I ，未标号的点集 J 以及从 I 到 J 的弧集。
若上述弧集是空集，则计算结束。此时，如果 $v_t$ 已标号 (l_t,k_t) 则 $v_s$ 到 $v_t$ 的距离为 $l_t$ ，而从 $v_s$ 到 $v_t$ 的最短路，可以从 $k_t$ 反向追踪到起点 $v_s$ 而得到。如果 $v_t$ 未标号，则不存在从 $v_s$ 到 $v_t$ 的有向路。若上述弧集不是空集，则转下一步。
对上述弧集中的每一条弧，计算 $s_{ij}=l_i+c_{ij}$ 在所有的 $s_{ij}$ 中，找值最小的弧，不妨设为 $(v_c,v_a)$ 则给此弧的终点 $v_a$ 标号 $(s_cd,c)$ ，返回步骤2.

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述 1. 先给起点标号:(0,1)，表示从到的距离为0，为起点。

标号（m,n）m是权重，n是前一个节点

在这里插入图片描述
同时，我们可以从各点的标号得到起点到该点的最短路径及距离。

用行向量pb表示P标号信息，index1表示标号顶点顺序， index2表示标号顶点索引，d表示最短路的值.

clc,clear
a=zeros(6); %邻接矩阵初始化
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a';
a(a==0)=inf;
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;
temp=1; %最新的P标号的顶点
while sum(pb)<length(a)
   tb=find(pb==0);
   d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
   tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
   temp=tb(tmpb(1)); %可能有多个点同时达到最小值，只取其中的一个
   pb(temp)=1;
   index1=[index1,temp];
   temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
   index2(temp)=index1(temp2(1));
end
d, index1, index2

程序过程就不具体分析了，只看看输出吧。
d代表距离，在这个题里代表票价，代表c1分别到c1，c2，c3,c4,c5,c6的距离
index1代表标号顺序
index2代表该标号的前一个标号

d =
    0    35    45    35    25    10
index1 =
     1     6     5     2     4     3
index2 =
     1     6     5     6     1     1

第一个标号的是自身c1，不用管，从第二个开始c1→c6，可以看到c6的前一个节点是1，所以c1直接到了c6.距离d=10；
第三个是c5，也是c1直接到的，距离d=25;
第四个c2，可以看到c2的前一个节点是c6，c6的前一个节点是c1，所以c1到c2的最短距离为c1先到c6再从c6到c2，距离为40
其他的以此类推
在这里插入图片描述

Floyd算法

主要用来计算每对顶点之间的最短路径。
Dijkstra算法用来计算一对顶点之间的最短路径。

Floyd算法的基本思想是：递推产生一个矩阵序列 $A_0,A_1...A_k...A_n$ ，其中 $A_k(i,j)$ 表示从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 的路径上所经过的顶点序号不大于k的最
短路径度。迭代公式为：
在这里插入图片描述
k是迭代次数， $i,j,k=1 ，2，3，...n$ 最后，当k=n时，即是各顶点之间的最短通路值。
这个算法要产生两个矩阵
这个算法就是找一个中间点，通过判断两个顶点的直接距离与通过中间点的简介距离的远近比较（近的为优）来不断对两个矩阵进行更新。

在这里插入图片描述

A代表每两个点之间的距离，path是每两个点之间的最短路径经过的中间点，一开始没有中间点，所以设置为-1，代表没有中间点。

这个是找一个中间点，一般是从0开始，再找1 2 3，这样过一遍。

我们直接用1开始吧，因为我算了，0没有更新。
算自身和自身都是0没啥意思，两两连接就是这12对顶点。
{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 0}, {1, 2}, {1, 3),
{2, 0}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 0}, {3, 1}, {3, 2}

｛0，1｝：因为要经过1，所以可以看成是 $A[0][1]=A[0][1]+A[1][1]$ ，左右相等，不更新
｛0，2｝： $A[0][2]>A[0][1]+A[1][2] \rightarrow \infin >5+4$ 所以更新，Path矩阵的A[0][2]更新为1（因为中间点是1）A矩阵中的A[0][2]更新为9
这是经过中间点为1跟新后的两个新矩阵
｛0，3｝： $A[0][3]>A[0][1]+A[1][3] \rightarrow 7 =5+2$ 不更新
｛1，2｝｛1，3｝｛1，0｝都经过1，不更新，剩下的自己算吧，当然我算了，没有更新。

再以顶点2为中间点进行检测

｛0，1｝： $A[0][1]<A[0][2]+A[2][1] \rightarrow 5<9+3$ 不更新
｛0，2｝｛2，0｝ {2,1}｛2，3｝有2不用算
｛0，3｝： $A[0][3]<A[0][2]+A[2][3] \rightarrow 7<9+2$ 不更新
｛1，0｝： $A[1][0]=A[1][2]+A[2][0] \rightarrow \infin >4+3$ 更新
｛3，0｝ $A[3][0]>A[3][2]+A[2][0] \rightarrow 4 =1+2$ 不更新
两个矩阵都分别跟新为如下两个
后面也都是一样，上次更新后直接以上次更新的那个矩阵为基础进行计算。这是以2为中间点进行更新的结果
这是3为中间点进行更新的结果

弗洛伊德算法就是利用矩阵的不断更新进行运算
当然FLoyd算法也有MATLAB程序
以Dijkstra算法那个例题为例，进行计算

clear;clc;
n=6; a=zeros(n);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55;
a=a+a'; 
a(a==0)=inf; %把所有零元素替换成无穷
a([1:n+1:n^2])=0; %对角线元素替换成零，Matlab中数据是逐列存储的
path=zeros(n);
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
            a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
            path(i,j)=k;
         end 
      end
   end
end
a, path

a =

     0    35    45    35    25    10
    35     0    15    20    30    25
    45    15     0    10    20    35
    35    20    10     0    10    25
    25    30    20    10     0    35
    10    25    35    25    35     0


path =

     0     6     5     5     0     0
     6     0     0     0     4     0
     5     0     0     0     0     4
     5     0     0     0     0     0
     0     4     0     0     0     1
     0     0     4     0     1     0

可以看到输出a是一个对称矩阵，代表两个点之间的距离，path代表路径，如[1，2]的数值是6，也就是经过了6这个中间点。

是不是只有距离这种题才能用这个模型呢？
在这里插入图片描述
例
设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，这样可以省去了购置费，但维修费用就高了。现在需要我们制定一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费和维修费总的支付费用最小。

这种设备每年年初的价格如下表
在这里插入图片描述
另外，还已知使用不同时间（年）的设备所需要的维修费如下图

用点vi 表示第 i 年年初购进一台新设备，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
用弧 (vi,vj) 表示在第 i 年年初购进的设备一直使用到第 j 年年初，其中i<j
化为最短路问题后，相应的图示如下：
在这里插入图片描述
相应地，把费用转化为图中弧的权数。

对于弧 (vi,vj) ，其权数为从第 i 年年初购进设备使用到第 j-1 年年底所花费的购置费及维修费的总和。如下：
在这里插入图片描述
下面把计算得到的权数赋到图上，得到赋权图，则求解五年
内购置费和维修费总费用最小的问题就转化为从赋权图中求解一
条从 v1 到v6 的最短路问题。

最短路径：
$v1→v3→v6$ 即：第1年初购置的新设备使用到第3年初 (第2年底) ，第3年初再购置新设备使用到第6年初 (第5年底) 。
$v1→v4→v6$ 即：第1年初购置的新设备使用到第4年初 (第3年底) ，第4年初再购置新设备使用到第6年初 (第5年底)
两个路径耗费的金钱是一样的
用MATLAB

clear;clc;
n=6; a=zeros(n);
a(1,2)=16;a(1,3)=22;a(1,4)=30;a(1,5)=41;a(1,6)=59;
a(2,3)=16;a(2,4)=22;a(2,5)=22;a(2,6)=41; 
a(3,4)=17;a(3,5)=23;a(3,6)=31;
a(4,5)=17;a(4,6)=23;
a(5,6)=18;
a=a+a'; 
a(a==0)=inf; %把所有零元素替换成无穷
a([1:n+1:n^2])=0; %对角线元素替换成零，Matlab中数据是逐列存储的
path=zeros(n);
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
            a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
            path(i,j)=k;
         end 
      end
   end
end
a, path

下一篇数学建模之图论——图与网络模型（二）（最小生成树问题、最大流问题） https://blog.csdn.net/weixin_45755332/article/details/106946149

数学建模之图论——图与网络模型（一）（基本概念和最短路问题，附MATLAB源码）