统计学知识回顾（三）

定义

• 在日常生活中我们常常需要做出决策，而我们在做决策时一定要预估事件可能发生的结果及概率。假设检验就是一种判断某个事件发生的可能性时使用的科学方法，它常常是先提出一个假设，即原假设；与之对应的是备择假设。假设检验的作用就是判断原假设成立的概率有多大

p-value

• 在假设检验当中，假设检验的结果通常不是百分之百成立的。我们推断得出的假设往往只在一定概率下成立。用于衡量这一概率的指标就是 p-value，也称作置信水平。它的内涵是衡量一个推断的可信程度

单侧假设

这个概念很容易混淆，此处通过一个案例以表格的形式来展示：

假设	单边检验	双边检验
原假设	药物无效	药物无效
备择假设	药物有负面作用	药物有效

在学习之前，我曾经以为原假设与备择假设之间一定是对立的关系，学习之后我发现其实两者不一定是对立关系，但一定是互斥关系。参考茆诗松的概率论与数理统计一书中假设检验的定义：

理清原假设与备择假设的关系之后，我们可以发现单侧检验与双侧检验之间的区别。以图示为例，单侧检验的备择假设应该是命题1或命题2，而双侧检验的备择假设应该是命题3

Z-统计量 vs T-统计量

• 当样本数量足够大 $(z>30)$时，样本抽样均值分布服从正态分布，此时可使用Z-分数表
• 当样本数量很小 $(z<30)$时，样本抽样均值分布服从 $t$分布，此时应使用 $t$分布表

第一类错误

• 即拒绝了正确的原假设

随机变量之差的方差

先列出几个前提条件：

• 若 $Z = X + Y$， $E(Z) = E(X+Y) = E(X)+E(Y)$
• 若 $A = X - Y$， $E(A) = E(X - Y) = E(X)-E(Y)$

等式成立的证明可以用期望的基本计算公式证得。
若 $X与Y$ 之间相互独立，则 $\sigma_{Z}^{2} = \sigma_{X}^{2} + \sigma_{Y}^{2}$，证明如下：

$\because \sigma_{X}^{2} = E(X^{2}) - E(X)^{2},$ $\sigma_{Y}^{2} = E(Y^{2}) - E(Y)^{2},$

$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y),$

$\therefore \sigma_{Z}^{2} = E[(X+Y)^{2}] - [E(X+Y)]^{2}$

$= E(X^{2} + Y^{2} + 2XY) - [E(X) + E(Y)]^{2}$

$= E(X^{2} + Y^{2} + 2XY) - E(X)^{2} -E(Y)^{2} - 2E(X)E(Y)$

$= E(X^{2}) + E(Y^{2}) - E(X)^{2} -E(Y)^{2} + 2[E(XY)-E(X)E(Y)]$

$= \sigma_{X}^{2} + \sigma_{Y}^{2} + 2Cov(X,Y)$

其中 $Cov(X,Y)$是随机变量 $X$和 $Y$的协方差，若 $X$和 $Y$相互独立，则协方差为0，得证。当 $Z = X-Y$时同理，也可得出相同结论

样本均值之差的分布

由上面得出的结论可以推断出：

$\mu _{ \overline{X} - \overline{Y}} = \mu_{\overline{X}} - \mu_{\overline{Y}}$

$\sigma_{\overline{X} - \overline{Y}}^{2} = \sigma_{\overline{X}}^{2} + \sigma_{\overline{Y}}^{2}$

均值之差的假设检验

流程同单变量均值的假设检验，仅在构造统计量时产生差异