统计学知识回顾（二）

中心极限定理

• 任何具有良好定义的具有均值与标准差的分布，随机取出 m 组样本量为 n 的样本。只要样本量 n 足够大，这些样本的均值就收敛于正态分布。

样本均值的抽样分布

• 即原分布的抽样所得均值形成的分布

偏度

• 正偏态分布：右侧尾部较长
• 负偏态分布：左侧尾部较长

峰度

• 正峰态：曲线更陡峭，尾部较长
• 负峰态：曲线更平缓，尾部较短

抽样样本容量越大，抽样分布均值形成的分布就越趋近于正态分布，标准差越小，曲线越紧凑

均值标准误差

• 抽样分布均值的分布标准差
• 公式： $\sigma _{\overline{X}} = \frac{\sigma} {\sqrt{n}}$

上面所提到的基础信息可以帮助我们在分布未知的情形下，利用中心极限定理来计算概率。具体步骤为：

• 根据中心极限定理可知，在样本量足够大的前提下，原分布总体均值可近似等同于抽样分布总体均值，并通过样本量与总体标准差计算出均值标准误差
• 计算 Z-分数，并通过查表确认偏离中心的距离，从而确定概率。注意分数表中特定的Z-分数值对应的概率为左开右闭区间

伯努利分布

• 又名 0-1 分布，是一个离散型分布。
• 统计量：
  • $\mu$ = p
  • $\sigma^{2}$ = p(1-p)

置信区间

• 即以概率 p 成立的误差区间。与之相对应的是置信水平，常常取值0.05。
• 从均值标准误差的公式可以看出，抽样样本量越大，对应的标准差越小。则在同样的置信水平下，误差区间就越小，得到的估计值就越精确。例如在前面的学习当中，我们可以得知在样本均值落在两个标准差区间内的概率约为95%，此时若提高样本量，则标准差变小，估计值所在的范围也就越小，自然就越精确。

小结

• 在计算概率时，要理清样本均值、总体均值、抽样分布均值三者的关系。
  • 样本均值是从总体中抽样所得样本的均值，样本的标准差也只是对总体的一个估计值，不完全相等
  • 在样本量足够大的前提下，抽样分布均值趋近于总体均值
  • 同样的置信水平下，可以通过增加样本量来提高准确度