HDU 6363 bookshelf（数论+莫比乌斯反演）

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Description

将$n$本书等概率随机放在$k$层书架上，如果第$i$层书架上有$cnt_i$本书，那么该层书架的稳定值为$stable_i=f[cnt_i]$，其中$f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2]$为斐波那契数列，美观度为$beauty_i=2^{stable_i}-1$，此时得分为$gcd(beauty_1,...,beauty_k)$，求得分期望值

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入两个整数$n,k(1\le T\le 10,0<n,k\le 10^6)$

Output

输出得分期望值，结果模$10^9+7$

Sample Input

1
6 8

Sample Output

797202805

Solution

首先证明两个结论：

$1.gcd(2^a-1,2^b-1)=2^{gcd(a,b)}-1$

假设$a\ge b$，则有
$$
\begin{array}{rcl}
gcd(2^a-1,2^b-1)&=&gcd(2^{a-b}(2^b-1)+2^{a-b}-1,2^b-1)\
&=&gcd(2^{a-b}-1,2^b-1)\

&…&\
&=&gcd(2^{a\%b}-1,2^b-1)
\end{array}
$$
辗转相除即得结论.

$2.gcd(f_a,f_b)=f_{gcd(a,b)}$

首先注意到

$$gcd(f_x,f_{x-1})=gcd(f_{x-1}+f_{x-2},f_{x-1})=gcd(f_{x-1},f_{x-2})=...=gcd(f_1,f_2)=1$$
假设 $a\ge b$，那么有
$$f_x=f_{x-1}+f_{x-2}=2f_{x-2}+f_{x-3}=...=f_{y+1}f_{x-y}+f_yf_{x-y-1}$$
则有
$$\begin{array}{rcl} gcd(f_x,f_y)&=&gcd(f_{y+1}f_{x-y}+f_yf_{x-y-1},f_y)\\ &=&gcd(f_{y+1}f_{x-y},f_y)\\ &=&gcd(f_{x-y},f_y)\\ &...&\\ &=&gcd(f_{x\%y},f_y) \end{array}$$
辗转相除即得结论.

现在考虑原问题，由上面两个结论即得到当$k$个书架上书的数量为$a_1,...,a_k$时，其得分即为$2^{f_{gcd(a_1,...,a_k)}}-1$，总方案数即为将$n$本书放入$k$个书架，方案数$C_{n+k-1}^{k-1}$，假设$gcd(a_1,...,a_k)=d,a_1+...+a_k=n$的方案数有$g(d)$种，那么答案即为$ans=\sum\limits_{d|n}g(d)(2^{f_d}-1)$，故只要求出$g(1),...,g(d)$即可

令$d|gcd(a_1,...,a_k),a_1+...+a_k=n$的方案数为$F(d)$，由插板法知$F(d)=C_{\frac{n}{d}+k-1}^{k-1}$

而$F(d)=\sum\limits_{d|i}g(i)$，由莫比乌斯反演有$g(d)=\sum\limits_{d|i}\mu(\frac{i}{d})F(i)$，预处理莫比乌斯函数后直接求解即可

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000005
typedef long long ll;
int prime[maxn],mu[maxn],check[maxn],tot;
void Moblus(int n=1e6)
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {           
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int a[maxn],fact[2*maxn],inv[2*maxn];
void init(int n=1e6)
{
    Moblus();
    a[0]=0,a[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e6;i++)a[i]=(a[i-2]+a[i-1])%(mod-1);
    for(int i=1;i<=1e6;i++)a[i]=add(Pow(2,a[i]),mod-1);
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(inv[i],inv[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
    if(m<0||m>n)return 0;
    return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int F(int d,int k)
{
    return C(d+k-1,k-1);
}
int main()
{
    init();
    int T,n,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        int ans=0;
        for(int d=1;d<=n;d++)
            if(n%d==0)
            {
                int f=0;
                for(int i=d;i<=n;i+=d)
                    if(n%i==0)
                    {
                        if(mu[i/d]==1)f=add(f,F(n/i,k));
                        else if(mu[i/d]==-1)f=add(f,mod-F(n/i,k));
                    }
                ans=add(ans,mul(f,a[d]));
            }
        printf("%d\n",mul(ans,Pow(C(n+k-1,k-1),mod-2)));
    }
    return 0;
}