动态规划---矩阵链相乘

问题描述

给定若干个矩阵，寻找最优的相乘次序，使得乘法运算的次数最少，并输出对应的最少运算次数。比如现有三个矩阵ABC，维数分别为 $A : 2 \times 10$

思路

求解的关键在于如何将问题分解为若干子问题。我们想象在各个矩阵之间可以放上隔板，那么只要先分别求解左和右的最少乘法次数，再将隔板左右的两部分相乘，就可以得到当前分隔方法的最优解，最后通过比较各种分隔方法，就能得到当前长度的最优解，如下图中四种分隔中我们取最少的次数，即为长度5（5个连续矩阵）的最优解。由于分隔后的长度必定小于当前长度，如此处的子问题长度必定小于5，而子问题已经在之前的迭代过程求得，无需重复计算。通过下一部分的迭代过程展示能有更直观的理解。

思路1：递归,把原数组从i到j-1做切分，计算切分之后两个子序列连乘的乘积之和和两个子序列总体的乘积

时间复杂度指数级，会有重复计算

代码如下：

#递归
def MatrixChainOrder(p,i,j):
    if i == j:
        return 0
    mins = 2 ** 32

    k = i
    while k < j:
        #count分成三份，从k做切分，[i,k]+[k+1,j]+总体
        count = MatrixChainOrder(p,k+1,j) + MatrixChainOrder(p,i,k) + p[i-1] * p[k] * p[j]
        #p[i-1] * p[k] * p[j]是两个子序列连乘的乘积矩阵再相乘的计算量
        print(i,k,j,count)

        if count < mins:
            mins = count
        k += 1
    return mins

思路2：动态规划

自下而上的方式构造临时数组来保存子问题的中间结果，避免重复计算

时间复杂度O(N^3),空间复杂度O(N^2)

迭代过程：

为了更直观的理解，下图和上面是等效的。（符号说明：m[a,b]代表从序号为a到序号为b的矩阵链所需的最少乘法次数，特别地，m[a,a]代表a号矩阵本身，很明显m[a,a]=0。）

先计算第二行（m[1,2],m[2,3],m[3,4],m[4,5]），然后第三行(m[1,3],m[2,4],m[3,5])，....

算法实现

arr[]数组用于记录矩阵链信息，其中n号矩阵对应的维数是arr[n-1]*arr[n]。动态规划的核心算法利用3个for循环，最外层控制矩阵链长度，下一层控制起始点，再下一层控制隔板的位置。最后左右合并的时候注意下标的选择，如下图所示。

代码如下：

#动态规划，自下而上
def MatrixChainOrder2(p,n):
    cost = [([None]*n) for i in range(n)]
    i = 1
    while i < n:
        cost[i][i] = 0
        i += 1
    cLen = 2
    #i=start,j=end,cLen=length
    while cLen < n:
        i = 1
        while i < n-cLen+1:
            j = i + cLen - 1
            print(i,j,cLen)
            cost[i][j] = 2 ** 31
            k = i
            while k <= j-1:
                q = cost[i][k] + cost[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]
                if q < cost[i][j]:
                    cost[i][j] = q
                k += 1
            i += 1
        cLen += 1
    # print(cost)
    return cost[1][n-1]

结果如下：

1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 5 2
1 3 3
2 4 3
3 5 3
1 4 4
2 5 4
1 5 5
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