矩阵相乘---动态规划第一课

问题：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[MAXN][MAXN]; // dp[i][j]表示矩阵Ai到Aj乘积的最少运算数
int idx[MAXN][MAXN]; // idx[i][j]表示矩阵Ai到Aj的划分位置
int a[MAXN]; // a[i]表示第i个矩阵的列数，a[i-1]表示第i个矩阵的行数
// 打印划分矩阵
int cnt = 1; // 划分次数
int pre[MAXN]; // 划分后，第i个矩阵的左括号数
int suf[MAXN]; // 划分后，第i个矩阵的右括号数
void divideMatrix(int i, int j)
{
    
    
    if (i == j) return;
    //i - j划分为 i - k, k + 1 - j;
    divideMatrix(i, idx[i][j]);
    divideMatrix(idx[i][j]+1, j);
    printf("第%d次计算为： (%d %d) - (%d %d)\n", cnt++, i, idx[i][j], idx[i][j]+1, j);
    pre[i]++;
    suf[j]++;
}

int main()
{
    
    
    int n;
    printf("请输入运算有多少个矩阵的乘积：\n");
    scanf("%d", &n);

    printf("请输入n+1个数代表矩阵的行列数：\n");
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
    
    
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    // 初始化
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    
    
        dp[i][i] = 0; 
    }
    // 从2个矩阵运算到n个矩阵
    for (int r = 2; r <= n; ++r)
    {
    
    
        // 从第i个矩阵开始计算r个矩阵 到 第n-r+1个矩阵开始计算r个矩阵
        for (int i = 1; i <= n - r + 1; ++i)
        {
    
    
            int j = i + r - 1;// 此时计算矩阵的最后一个矩阵，构成了Ai - Aj的矩阵序列
            dp[i][j] = INF;// 初始化为最大计算数
            idx[i][j] = i;

            for (int k = i; k < j; ++k)// 在i-j中寻找划分
            {
    
    
                int tmp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i-1] * a[k] * a[j];
                if (tmp < dp[i][j]) // 遇到较小值更新
                {
    
    
                    dp[i][j] = tmp;
                    idx[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    printf("矩阵乘积最小运算数是：%d\n\n", dp[1][n]);


    printf("矩阵进行以下运算：\n");
    divideMatrix(1, 6);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    
    
        for (int j = 1; j <= pre[i]; ++j)
        {
    
    
            printf("(");
        }
        printf("%d", i);
        for (int j = 1; j <= suf[i]; ++j)
        {
    
    
            printf(")");
        }
    }
}