HBU训练营【动态规划DP】——矩阵链相乘问题 (30分)

只有我觉得动态规划很难么，总是get不到它的核心思想。。我觉得别人都用的很好。。。

矩阵的乘法定义如下：设A是m×p的矩阵，B是p×n的矩阵，则A与B的乘积为m×n的矩阵，记作C=AB，其中，矩阵C中的第i行第j列元素cij可以表示为：c​ij=Σ​k=1​paik ×bkj =ai1 b1j +ai2 b2j +⋯+aip bpj.

当多个矩阵相乘时，采用不同的计算顺序所需的乘法次数不相同。例如，A是50×10的矩阵，B是10×20的矩阵，C是20×5的矩阵， 计算ABC有两种方式：(AB)C和A(BC)，前一种需要15000次乘法计算，后一种则只需3500次。

设A​1,A​2​​ ,…,A​n为矩阵序列，A​i是阶为P​i−1​​ ∗P​i 的矩阵(1≤i≤n)。试确定矩阵的乘法顺序，使得计算A1 A2 …An 过程中元素相乘的总次数少。

输入格式:
每个输入文件为一个测试用例，每个测试用例的第一行给出一个正整数n(1≤n≤100)，表示一共有n个矩阵A1 ,A​2​​ ,…,A​n​​ ，第二行给出n+1整数P0,P​1 …Pn ，以空格分隔，其中1≤Pi≤100(0≤i≤n)，第i个矩阵A​i​​ 是阶为P​i−1∗P​i的矩阵。

输出格式:
获得上述矩阵的乘积，所需的最少乘法次数。

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：

5
30 35 15 5 10 20

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

11875

①矩阵 Aij与矩阵Bjk相乘，所需乘法次数 = i* j*k；②两个矩阵相乘，只有一个结果，所以不存在最优问题；③多个矩阵相乘，假设已经知道在第k个位置加括号会得到最优解，那么运问题变成两个子问题:（Ai Ai+1 …Ak)，(Ak+1Ak+2…Aj)​假设前者乘法次数为a，后者乘法次数为c，两者 相乘的乘法次数为b，所以，最优解 = a+b+c；④用m[i][j]表示AiAi+1…Aj矩阵连乘的最优值，那么子问题（Ai Ai+1 …Ak)，(Ak+1Ak+2…Aj)对应的最优值为m[i][k],m[k+1][j],再加上矩阵（AiAi+1 …Ak)和矩阵(Ak+1Ak+2…Aj)的乘法次数就行。

#include <iostream>
#include <climits>//注意头文件INT_MAX;
using namespace std;

int p[1010],dp[1010][1010];

int res(int n){
	for(int k = 2;k<=n;k++){
		for(int i = 1;i<=n+1-k;i++){
			int j = i+k-1;
			int x;
			dp[i][j] = INT_MAX;
			for(int m = i;m<j;m++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][m] + dp[m+1][j]+p[i-1]*p[m]*p[j]);
			}
		}
	}
	return dp[1][n];
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 0;i<=n;i++){
		cin >> p[i];
	}
	cout << res(n) << endl;
    return 0;
}