算法之路__19、动态规划之矩阵链相乘

动态规划之矩阵链相乘

问题描述

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。
确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

思路：

构造递归解

设m[i,j]为矩阵链Ai…Aj的最优解的代价，则

       ┌ 0    如果i = j

m[i,j] = │

      └ min(i≤k＜j) {m[i,k] + m[k+1,j] + Ai.row*Ak.col*Aj.col}  如果i ＜ j

假如n=6 则m矩阵为：
（上三角）
首先在对角线0中，每个链仅由一个矩阵的组成，没有数量乘法，因此这个对角线填0。
接着，对角线1由两个连续的矩阵相乘的耗费来填充。如C[2][3]用M2M3M2M3的乘法耗费来填。
余下的对角线根据上面的递推式和先前存储在表中值来填。举例来说，C[2][5]的值为以下三个耗费的最小值：

• (1)计算M2,2M2,2的耗费（即C[2][2])加上计算M3,5M3,5（即C[3][5]）的耗费，再加上M2,2M2,2乘以M3,5M3,5的耗费。
• (2)计算M2,3M2,3的耗费（即C[2][3])加上计算M4,5M4,5（即C[4][5]）的耗费，再加上M2,3M2,3乘以M4,5M4,5的耗费。
• (3)计算M2,4M2,4的耗费（即C[2][4])加上计算M5,5M5,5（即C[5][5]）的耗费，再加上M2,4M2,4乘以M5,5M5,5的耗费。

# 辅助表 m 保存代价 m[i,j]
# 辅助表 s 记录最优值 m[i,j]对应的分割点 k
def maxChain(p):
    n = len(p)
    m = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    s = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]


    for l in range(2,n):  # 对角线

        for i in range(1,n-l+1):  # 行
            j = i+l-1
           # m[i][j] = 9999999999
            for k in range(i,j):
                if(k == i):
                    m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]
                    s[i][j] = k

                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q
                    s[i][j] = k
    return m, s


# 输出矩阵链的最优括号化方法
def printOpt(s, i, j):
    if i == j:
        print("A", i, end='')
    else:
        # print("(", end="")
        print("(", end='')
        printOpt(s, i, s[i][j])
        printOpt(s, s[i][j]+1, j)
        print(")", end='')


print("start=========")

# p = [30, 35, 15, 5, 10, 20, 25]
p = [3, 5, 6, 7, 4]
m, s = maxChain(p)

# print(m)
# print(s)
print("最优括号化方案为：")

printOpt(s, 1, 4)

print("")
print("其标量乘法次数为：", m[1][4])

print("Over=========")