4.3线性规划问题

线性规划

目标函数和约束函数都是仿射函数，问题则称为线性规划。一般的线性规划形式:

$minimize\, \, c^Tx+d\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} Gx\preceq h\\ Ax=b \end{matrix}$

其中 $G\in R^{m\times n},A\in R^{p\times n}$ ，显然线性规划问题是凸优化问题。

因为不等式约束函数和等式约束函数都是仿射函数，所以可行集是一个多面体。

所以也就是相等于在多面体中找一个 $x^*$ 使得 $c^Tx+d$ 最小，即找一个最大的 $-c^Tx$ 。

食谱问题

$x_1,x_2,\cdots x_n$ 表示n种食物的量，一份健康的饮食包含m种不同的营养，每种至少要 $b_1,b_2,\cdots b_m$ ，单位第j种食物有营养i的量为 $a_{ij}$ ，价格为 $c_{ij}$ ，这一问题用线性规划描述为：

$minimize\, \, c^Tx\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} Ax\geq b\\ x\geq 0\\ \end{matrix}$

多面体的Chebyshev中心

在多面体中寻找最大球问题。多面体的线性不等式表示： $P=\left \{ x\inR^n|a_i^Tx\leq b_i,i=1,\cdots m \right \}$

球表示为： $B=\left \{ x_c+u|\begin{Vmatrix}u \end{Vmatrix}_2 \leq r\right \}$

约束：B在P中：

$\begin{Vmatrix} u\end{Vmatrix}_2\leq r\Rightarrow a_i^T(x_c+u)\leq b_i\Rightarrow a_i^Tx_c+a_i^Tu\leq b_i\, \, \, \, (1)$

又因为：

$sup\left \{ a_i^Tu|\begin{Vmatrix}u \end{Vmatrix}_2\leq r \right \}=r\begin{Vmatrix}a_i \end{Vmatrix}_2$

结合(1)式，知：

$a_i^Tx_c+r\begin{Vmatrix}a_i\end{Vmatrix}_2\leq b_i$

于是得到线性规划问题：

$maximize\, \, r\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} a_i^Tx_c+r\begin{Vmatrix}a_i\end{Vmatrix}_2\leq b_i,i=1,2\cdots m\end{matrix}$

分片线性极小化

$f(x)=\underset{i=1,\cdots m}{max}(a_i^Tx+b_i)$

通过上境图形式转化为等价的线性规划问题：

$minimize\, \, t\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix}\underset{i=1,\cdots m}{max}( a_i^Tx_c+b_i)\leq t\end{matrix}$

$minimize\, \,f_0(x)\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} Gx\preceq h\\ Ax=b \end{matrix}$

其中, $f_0(x)=\frac{c^Tx+d}{e^Tx+f},dom(f_0)=\left\{x|e^Tx+f> 0\right\}$

可行集： $\left \{ x|Gx\preceq h,Ax=b,e^Tx+f> 0 \right \}$

令 $y=\frac{x}{e^Tx+f},z=\frac{1}{e^Tx+f}$

得到原问题等价的线性规划：

$minimize\, \,c^Ty+dz\\ subject\, \, to\, \, \begin{matrix} Gy-hz\preceq 0\\ Ay-bz=0\\e^Ty+fz=1\\ z\geq 0 \end{matrix}$

首先如果x是原问题的可行解，那么y和z都是等价线性规划的可行解，且目标值相同。

反过来，当y,z是可行解时，（1）z不为0时， $x=y/z$ 是原问题可行解。（2）z=0时，假设 $x_0$ 是原问题可行解，则 $x=x_0+ty,\forall t\geq 0$ 是原问题可行解。且t趋于无穷大的时候。目标值相同。

广义线性分式规划

$f(x)=\underset{i=1,\cdots m}{max}(\frac{c_i^Tx+d_i}{e_i^Tx+f_i}),dom(f)=\left \{ x|e_i^Tx+f_i>0,i=1,\cdots m \right \}$