4.6广义不等式约束

锥形式问题
半定规划
例子

广义不等式约束

将不等式约束函数扩展为向量，并使用广义不等式，得到：

$minimize \, \,f_0(x) \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} f_i(x)\preceq _{K_i} 0,i=1,2,\cdots m\\ Ax=b \end{matrix}$

其中 $f_0:R^n\rightarrow R$ ， $K_i\subseteq R^{k_i}$ 为正常锥， $f_i:R^n\rightarrow R^{k_i}$ 为 $K_i$ 凸的。则称此问题为广义不等式意义下的凸优化问题。

结论：

可行集、任意下水平集和最优集都是凸的。
上述问题的任意局部最优解都是全局最优解。
可微函数 $f_0$ 的最优性条件都成立。

锥形式问题

锥形式问题也称锥规划，有线性目标函数和一个不等式约束函数（仿射函数）：

$minimize \, \,c^Tx \\ subject \, \,to \, \,\begin{matrix} Fx+g\preceq _K0\\ Ax=b \end{matrix}$

标准形式的锥形式问题：

$minimize \, \,c^Tx \\ subject \, \,to \, \,\begin{matrix} x\succeq _K0\\ Ax=b \end{matrix}$

不等式形式的锥形式问题：

$minimize \, \,c^Tx \\ subject \, \,to \, \,\begin{matrix} Fx+g\preceq _K0\end{matrix}$

半定规划

当K为 $S_+^k$ ，即 $k\times k$ 半正定矩阵锥时，相应的锥形式问题为半定规划（SDP）：

$minimize \,\, c^Tx \\ subject \, \, to \, \, \begin{matrix} x_1F_1+\cdots +x_nF_n+G\preceq 0\\ Ax=b \end{matrix}$

其中 $G,F_1,\cdots F_n\in S^k,A\in R^{p\times n}$ ，且不等式是线性矩阵不等式（LMI）。

如果 $G,F_1,\cdots F_n$ 都是对角阵，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划。

标准形式的半定规划

标准形式的SDP具有对变量 $X\in S^n$ 的线性等式约束和非负约束：

$minimize \, \, tr(CX) \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} tr(A_iX)=b_i,i=1,2,\cdots p\\ X\succeq 0 \end{matrix}$

其中 $C,A_1,A_2,\cdots A_p\in S^n$ 。

不等式形式的半定规划

$minimize \, \, c^Tx \\ subject \, \, to \, \,x_1A_1+x_2A_2+\cdots x_nA_n\preceq B$

其优化变量 $x\in R^n,B,A_1,A_2,\cdots A_n\in S^k,c\in R^n$ 。

多个LMI：

$minimize \, \, c^Tx \\ subject \, \, to \, \,F^{(i)}(x)=x_1F^{(i)}_1+x_2F^{(i)}_2+\cdots x_nF^{(i)}_n+G^{(i)}\preceq 0$

多个LMI和一个LMI是等价的，例如

$minimize \, \, c^Tx \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} F^{(1)}(x)=x_1F^{(1)}_1+x_2F^{(1)}_2+\cdots x_nF^{(1)}_n+G^{(1)}\preceq 0\\ F^{(2)}(x)=x_1F^{(2)}_1+x_2F^{(2)}_2+\cdots x_nF^{(2)}_n+G^{(2)}\preceq 0 \end{matrix}$

其约束函数可以写成：

$x_1\begin{bmatrix} F^{(1)}_1 & 0\\ 0 & F^{(2)}_1 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} F^{(1)}_2 & 0\\ 0 & F^{(2)}_2 \end{bmatrix}+\cdots +x_n\begin{bmatrix} F^{(1)}_n & 0\\ 0 & F^{(2)}_n \end{bmatrix}\preceq 0$

新的约束的矩阵仍然属于 $S^k$

LP 、SOCP、SDP

首先解释为什么当 $G,F_1,\cdots F_n$ 都是对角阵时，那么上式中的线性矩阵不等式等价于n个线性不等式，SDP退化为线性规划

当 $G,F_1,\cdots F_n$ 都是对角阵时，取k=2，n=2，此时约束函数：

$x_1\begin{bmatrix} F^{(1)}_{11} & 0\\ 0 & F^{(1)}_{22} \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} F^{(2)}_{11} & 0\\ 0 & F^{(2)}_{22} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} G_{11} & 0\\ 0 & G_{22} \end{bmatrix}\preceq 0$

$\Rightarrow\begin{matrix} x_1F^{(1)}_{11}+x_2F^{(2)}_{11}+G_{11}\preceq 0 \\ x_1F^{(1)}_{22}+x_2F^{(2)}_{22}+G_{22}\preceq 0 \\ \end{matrix}$

显然SDP退化为线性规划。

SOCP和等价的SDP

SOCP：

$minimize \, \, f^Tx \\ subject \,\, to \,\,\begin{Vmatrix} A_ix+b_i\end{Vmatrix}_2\leq c_i^Tx+d_i,i=1,2,\cdots m$

想要得到其等价的SDP，关键在于对其约束函数的转变，即由SOCP的约束函数得到一个矩阵半定约束。

$minimize \, \, f^Tx \\ subject \,\, to \,\,\begin{bmatrix} (c_i^Tx+d_i)I & A_ix+b_i\\ ( A_ix+b_i)^T& (c_i^Tx+d_i) \end{bmatrix}\succeq 0$

显然矩阵正定有两个约束：（1） $(c_i^Tx+d_i)I\geq 0$ （2） $(c_i^Tx+d_i)I(c_i^Tx+d_i)-(A_ix+b_i)^T(A_ix+b_i)\geq 0$ 由这两个约束可推出SOCP的约束。

例子

最小化矩阵最大的特征值

$minimize \, \, \lambda _{max}(A(x))$

$A(x)=A_0+x_1A_1+x_2A_2+\cdots x_nA_n,A_i\in S^k$

相当于找到一个最小的t，使得 $\lambda _{max}(A(x))\leq t$ ，即 $\forall y,x,y^TA(x)y\preceq y^Tty\Leftrightarrow A(x)\preceq tI\Leftrightarrow A(x)-tI\preceq 0$

等价于SDP：

$minimize \, \, t \\ subject \, \, to \, \,A(x)-tI\preceq 0$

矩阵范数极小化

$minimize \, \, \begin{Vmatrix} A(x)\end{Vmatrix}_2=(\lambda _{max}(A(x)^TA(x)))^{1/2}\\ A(x)=A_0+x_1A_1+x_2A_2+\cdots x_nA_n,A_i \in R^{p\times q}$

即找到一个最小t，使得 $\begin{Vmatrix}A(x) \end{Vmatrix}_2\leq t\Leftrightarrow A^TA\preceq t^2I,t\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} tI & A\\A^T & tI \end{bmatrix}\succeq 0$

所以其对应的SDP问题为：

$minimize \, \, t \\ subject \, \, to \, \,\begin{bmatrix} tI & A\\A^T & tI \end{bmatrix}\succeq 0$

凸优化第四章凸优化问题 4.6广义不等式约束