4.5几何规划

单项式与正项式
几何规划
凸形式的几何规划
例子

单项式与正项式

函数 $f:R^n\rightarrow R,dom(f)=R^n_{++}$ 定义为： $f(x)=cx_1^{a-1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n},c>0,a_i \in R$

函数f被称为单项式函数，或简称单项式。单项式的指数 $a_I$ 可以是任意实数，但系数c非负。

单项式的和，成为正项式函数，或简称为正项式，具有下列形式：

$f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_kx_1^{a_{1k}}x_2^{a_{2k}}\cdots x_n^{a_{nk}},c_k>0$

正项式对于加法、正数乘和非负的伸缩变换，以及平方运算都是封闭的，即 $\forall f(x),g(y)$ 是正项式 $f(x)+g(y),kf(x),k> 0,f(x)^2$ 均是正项式。

几何规划

$minimize \, \, f_0(x) \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} f_i(x)\leq 1 &i=1,2\cdots m \\ h_i(x)=1 &i=1,2,\cdots p \end{matrix}$

具有上述形式的优化问题称为几何规划。其中 $f_i$ 是正项式， $h_i$ 是单项式。

扩展：如果f(x)是正项式，h(x)是单项式， $f(x)\leq h(x)$ ，可以写成 $f(x)/h(x)\leq 1$ ，如果 $h_1(x),h_2(x)$ 都是单项式，约束为 $h_1(x)=h_2(x)$ 事，可以转为 $h_1(x)/h_2(x)=1$

凸形式的几何规划

几何规划显然不是凸优化问题，但通过变量代换以及目标函数、约束函数的转换，可以将其转换为凸优化问题。

令 $y_i=log(x_i) \Rightarrow x_i=e^{y_i}$ ，所以如果f(x)是单项式函数，则

$f(x)=cx_1^{a_1}x_2^{a_2}x_3^{a_3}\cdots x_n^{a_n} =c(e^{y_1})^{a_1}(e^{y_2})^{a_2}\cdots (e^{y_n})^{a_n}=ce^{y_1a_1}e^{y_2a_2}\cdots e^{y_na_n}\\ =ce^{a^Ty}$

令 $b=log^c$ ，所以 $c=e^b$ ，所以上式变为： $f(x)=e^{a^Ty+b}$

如果f(x)是正项式函数，则

$f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_kx_1^{a_{1k}}x_2^{a_{2k}}\cdots x_n^{a_{nk}}=\sum _{k=1}^{K}e^{a_k^Ty+b_k}$

所以几何规划问题转化为：

$minimize \, \,\sum _{k=1}^Ke^{a_{0k}^Ty+b_{0k}} \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} \sum _{k=1}^{K_i}e^{a_{ik}^Ty+b_{ik}}\leq 1 &i=1,2\cdots m \\ e^{g_i^Ty+h_i}}=1 &i=1,2,\cdots p \end{matrix}$

再用对数函数对目标函数和约束函数进行转换

$minimize \, \,\tilde{f_0}(x)=log \, (\sum _{k=1}^Ke^{a_{0k}^Ty+b_{0k}} )\\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} \tilde{f_i}(x)=log\,(\sum _{k=1}^{K_i}e^{a_{ik}^Ty+b_{ik}})\leq 1 &i=1,2\cdots m \\ g_i^Ty+h_i}=1 &i=1,2,\cdots p \end{matrix}$

可知目标函数是凸函数，不等式约束函数是凸函数，等式约束函数是仿射函数故问题是凸优化问题。

例子

悬壁梁的设计

悬壁梁包含N段，每段都有段位长度和矩形截面，截面的高度为 $h_i$ 宽度为 $w_i$ ，一个垂直负载被施加于的右端，力为F，其材料是线性弹性的，其杨氏模量为E。

问题中带设计的变量是N段的宽度和高度，在一些约束下要求最小化梁的体积： $w_1h_1+w_2h_2+\cdots w_Nh_N$

约束：

每段的宽度和高度的上下界： $w_{min}\leq w_i\leq w_{max},h_{min}\leq h_i\leq h_{max},i=1,2\cdots N$
形状比例约束： $S_{min}\leq h_i/w_i\leq S_{max}$
第i段的最大压力，记为 $\sigma _i=6iF/(w_ih_i^2)$ ，约束： $\frac{6iF}{w_ih_i^2}\leq \sigma _{max}$
梁末端垂直挠度的限制，记为 $y_1$ ， $y_1\leq y_{max}$
挠度 $y_1$ 可由梁上隔断的挠度和斜度，从斜度v和挠度y均为0， $v_{N+1}=y_{N+1}=0$ 开始按 $i=N,N-1,N-2,\cdots 1$ 递归求得： $v_i=12(i-1/2)\frac{F}{Ew_ih_i^2}+v_{i+1},y_i=6(i-1/3)\frac{F}{Ew_ih_i^2}+v_{i+1}+y_{i+1}$

于是问题为：

$minimize \, \, \sum _{i=1}^Nw_ih_i \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} w_{min}\leq w_i \leq w_{max},i=1,2,\cdots m\\ h_{min}\leq h_i\leq h_{max},i=1,2,\cdots m \\ S_{min}\leq h_i/w_i\leq S_{max},i==1,2\cdots m \\ 6iF/(w_ih_i^2)\leq \sigma _{max},i=1,2\cdots m \\ y_1\leq y_{max} \end{matrix}$

将其整理为几何规划形式：

$minimize \, \, \sum _{i=1}^Nw_ih_i \\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} w_{min}w_i^{-1}\leq 1,w_i w_{max}^{-1}\leq 1,i=1,2,\cdots m\\ h_{min}h_i^{-1}\leq 1,h_ih_{max}^{-1}\leq 1,i=1,2,\cdots m \\ S_{min} w_i h_i^{-1}\leq 1,h_i/w_i S_{max}^{-1}\leq 1,i==1,2\cdots m \\ 6iF/(w_ih_i^2)\sigma _{max}^{-1}\leq 1,i=1,2\cdots m \\ y_1 y_{max}^{-1} \leq 1\end{matrix}$

凸优化第四章凸优化问题 4.5几何规划

4.5几何规划

单项式与正项式

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例子

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