51nod 1584 加权约数和

本来想用：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii \sigma(ij)=\sum_{i=1}^ni\sum_{k=1}^{i^2}k\lfloor \frac i {\frac k {(i,k)}}\rfloor$
来推的，结果没推出来，之后可能会再尝试推一下。

但是从上面这个式子的来历来分析，对于任意的数 $k$ ， $i$ 对其作为 $ij$ 的因数的贡献只有 $(i,k)$ ，剩余的部分必须由 $j$ 承担，换言之，若一个数 $k$ 是 $ij$ 的因数，则必然满足 $\frac k {(i,k)}|j$ ，于是我们尝试枚举 $\frac i {(i,k)}$ 和 $\frac k {(i,k)}$ ，当然，实际上他们分别是 $i$ 和 $j$ 的因数，于是便有了一个更加方便的公式：
$\sigma(ij)=\sum_{a|i}\sum_{b|j}[(a,b)=1]a\frac j b$

进入推导：
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii\sigma(ij)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii\sum_{a|i}\sum_{b|j}[(a,b)=1]ab\\ =\sum_{x=1}^n\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n x\rfloor}\sum_{j=1}^ix^2i\sum_{a|i}a\sigma(j)\\ =\sum_{x=1}^nx^2\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n x\rfloor}i\sum_{a|i}\sum_{j=1}^i\sigma(j)\\ =\sum_{x=1}^nx^2\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n x\rfloor}i\sigma_s^2(i)\sum_{a|i}1\\ =\sum_{x=1}^nx^2\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac n x \rfloor}i\sigma _s^2(i)\sigma(i)$

容易想到通过递推来预处理所有的值，因为当 $\lfloor \frac {n+1} i\rfloor$ 变化时，当且仅当 $i|n+1$ ，设：
$f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii\sigma(ij)\\ =f(n-1)+\sum_{d|n}d^2\mu(d)(\frac i d)\sigma_s^2(\frac i d)\sigma(\frac i d)$
这使得我们可以在 $O(nlgon)$ 下预处理出所有答案。

当然，为了求出正确解，还需要计算 $\sum_{i=1}^ni\sigma(i^2)$ 的值，因为很简单所以就不写了。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
//--Container
//--
typedef long long ll;
const ll md=1e9+7;const int up=1e6;
int ct=0,mu[up+10],pr[up+10],pn,ms[up+10];ll mss[up+10],rs[up+10];bool bd[up+10];

void _init(){
    int i,j,k,d,t;for(pn=0,i=2;i<=up;++i){
        if(!bd[i])pr[++pn]=i,mu[i]=-1;
        for(j=1;j<=pn&&(ll)pr[j]*i<=up;++j){
            bd[pr[j]*i]=1,mu[pr[j]*i]=-mu[i];
            if(!(i%pr[j])){mu[pr[j]*i]=0;break;}
        }
    }
    for(i=1;i<=up;++i)for(j=i;j<=up;j+=i)ms[j]+=i;
    for(mu[1]=1,i=2;i<=up;++i)mu[i]=mu[i]<0?mu[i]+md:mu[i];
    for(i=1;i<=up;++i)mss[i]=(mss[i-1]+ms[i])%md;
    for(i=1;i<=up;++i)for(j=i;j<=up;j+=i){
        t=j/i;rs[j]=(rs[j]+(ll)i*i%md*mu[i]%md*t%md*ms[t]%md*mss[t]%md*2)%md;
        rs[j]=(rs[j]+md-(ll)i*i%md*mu[i]%md*(t)%md*ms[t]%md*ms[t]%md)%md;
    }
    for(i=2;i<=up;++i)rs[i]=(rs[i-1]+rs[i])%md;
};

void cl(){
    int n;scanf("%d",&n);printf("Case #%d: %lld\n",++ct,rs[n]);
};

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    int t;scanf("%d",&t);for(_init();t--;cl());
    return 0;
};

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