统计学习方法ｃ++实现之五 逻辑斯蒂回归

逻辑回归

前言

最早接触逻辑回归是在学习吴恩达老师的机器学习课程的时候，那个时候逻辑回归是跟在线性回归后面出现的，当时感觉这应该就是个“hello world”级别的机器学习模型（好像确实是），现在看到《统计学习方法》中的各种推导，才发现自己了解的太少，静下心来看逻辑回归模型和最大熵模型，发现确实蕴藏了很多统计学的基本原理，但是这系列博客重点是实现，所以这里就不进行推导了，书中讲的很详细了。代码地址https://github.com/bBobxx/statistical-learning/blob/master/src/logistic.cpp

逻辑回归的基本概念

逻辑回归是一种分类模型，一般是二分类，书中给出了逻辑斯蒂分布的概率分布函数和图像，在机器学习中，我们需要得到的是条件概率分布，以二分类为例：

$ P(Y=1|x) = \frac{exp(wx)}{1+exp(wx)}$

$P(Y=0|x) = 1-P(Y=1|x) $

当然一般形式是采用Sigmoid函数那种形式：

$ P(Y=1|x) = \frac{1}{1+e^{-wx}}$

两种形式是相等的，这里的w是将偏移量b加入w后的向量，相应的x应该扩充为\((x_1,x_2,...,x_n, 1)\)。我们的目的是估计w的值。

模型的估计使用最大似然估计，对数似然函数：

$L(w)=\sum_i[y_ilogP(Y=1|x)+(1-y_i)log(1-P(Y=0|x)] $

我们的目的就是求出让\(-L(w)\)最小的w，这里我们选择使用梯度下降法。

模型的概念介绍的比较简单，大家看代码就能看懂，这里就不赘述了。

代码实现

代码结构图

核心代码展示

void Logistic::train(const int& step, const double& lr) {
    int count = 0;
    for(int i=0; i<step; ++i) {
        if (count == trainDataF.size() - 1)
            count = 0;
        count++;
        vector<double> grad = computeGradient(trainDataF[count], trainDataGT[count]);
        double fl;
        if (trainDataGT[count]==0)
            fl = 1;
        else
            fl = -1;
        w = w + fl*lr*grad;
        auto val = trainDataF[count]*w;
        double loss = -1*trainDataGT[count]*val + log(1 + exp(val));
        cout<<"step "<<i<<", train loss is "<<loss<<" gt "<<trainDataGT[count]<<endl;
    }
}

上面的w优化的时候根据类别确定了梯度的正负（其实是确定要加上这部分梯度还是减去），这个是公式上没出现的。我的理解是前面计算梯度的公式在向量应用的时候有点问题，这部分如果有疑问就深入讨论。