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介绍
给定事件\(A\)，设指示器随机变量\(X_A=I\{A\}\)表示\(A\)是否发生，则
在一次实验中，\(A\)的期望次数就是\(X_A\)的期望值，故
\[E(X_A)=P(A)\]
指示器随机变量的优势：
- 方便
期望与概率之间的转换； - 期望
线性和性质与随机变量之间是否独立无关；
例题分析
指示器随机变量表示的事件考虑一个因素
1，抛\(n\)次硬币，正面朝上的期望数；
注意：抛n次硬币和抛n个硬币本质是一样的。
普通解法：算正面朝上1、2、3...次的概率
\[E(X)=\sum_{k=1}^n k* {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\]
简便解法：指示器随机变量按实验进行的阶段分解设置
设\(X\)为正面朝上的总数，\(X_k\)表示第\(k\)次实验，发生了正面朝上事件；
\[E(X)=\sum_{k=1}^n E(X_k) = n*p\]
2，抛\(n\)次骰子，和的期望数；
普通解法：算和为1、2、3...的概率
简便解法：
设\(X\)为和，\(X_k\)为第\(k\)次抛骰子的数。
\[E(X)=n*3.5\]
3，一个随机的\(n\)排列，求满足\(a[i]=i\)的元素数目期望；
普通解法：算数目为1、2、3...的概率；
简便解法：
设\(X\)为元素数目，\(X_k\)为第\(k\)个元素满足条件的事件；
\[E(X)=n*\frac{1}{n}=1\]
4，依次面试\(n\)个人，如果第\(i\)个人比前面所有人都优秀，则录用这个应聘者。无论是否录用，面试都继续。求录用总数的期望；
普通解法：算录用1、2、3...次的概率，复杂不求解
简便解法：
设\(X\)为录用总数，\(X_k\)为第\(k\)个应聘者被录用的事件。
\[E(X)=\sum_{k=1}^n E(X_k)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \approx \ln n\]
5，礼券收集问题
要收齐\(n\)种券需要的期望券数；
普通解法：算券数为n、n+1、n+2...的概率
简便解法：
设\(X\)为券总数，\(X_k\)表示事件：在第\(k\)种券收集齐后，到收集第\(k+1\)种券需要的券数；
\[E(X)=\sum_{k=0}^{n-1} E(X_k)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k}\approx n\ln n\]
练习1：
\(n\)个球投\(m\)个箱子，求空箱子的期望数，有\(2\)个球的箱子的期望数；
设\(X\)表示有\(2\)个球的箱子的数目，\(X_k\)表示第\(k\)个箱子有\(2\)个球；
\[E(X)=\sum_{k=1}^m E(X_k) = m* {n \choose 2}(\frac{1}{m})^2 (\frac{m-1}{m})^{n-2} \]
练习2：
\(n\)个人在楼底进入电梯，楼上有\(m\)层，每个乘客在任一楼层下电梯的概率相同。求电梯上无人时，停靠次数的期望；
\[E(X)=m*(1-(\frac{m-1}{m})^n)\]
练习3：
Chinese restaurant process中桌子的期望数；
指示器随机变量表示的事件考虑两(多)个因素
1，一个随机的\(n\)排列，求逆序对的数目期望；
普通解法：算数目为1、2、3...的概率；
简便解法：指示器随机变量表示的事件考虑了两(多)个因素
设\(X\)为逆序对的数目，\(X_{ij}\)表示\(a[i] \gt a[j], i \lt j\)的事件；
\[E(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^{n-1} E(X_{ij})= \frac{n(n-1)}{2} *\frac{1}{2}=\frac{n(n-1)}{4}\]
2，\(n\)个人，\(k\)个人同生日的对数的期望数；
普通解法：算对数为1、2、3...的概率
简便解法：
设\(X\)为同生日的对数，\(X_{i_1, i_2, ...,i_k}\)表示这\(k\)个人同生日；
\[E(X)={n \choose k} E(X_{i_1, i_2, ...,i_k})={n \choose k} *(\frac{1}{365})^{k-1}\]
参考
《算法导论》第5章
生日问题
1，\(n\)个人，存在一对人同生日的概率：
\[p(n)=1-\prod_{k=1}^n \frac{365-k+1}{365}\]
当生日是分布均匀时，仅需23个人，有同生日的比率就高达50%；
现实中，生日的分布是不均匀的，这导致有同生日的比率更高了；
2，\(n\)个人，存在一个人与我同生日的概率：
\[q(n)=1-\prod_{k=1}^n\frac{365-1}{365}\]
当生日是分布均匀时，需250个人，与我同生日的比率才到达50%；
3，所有人排队进入房间，第几号人进来后，房间内第一次产生一对人同生日的概率最大；
考虑\(p(n)\)的递推公式：
前\(n\)个人开奖=前\(n-1\)个人已经开奖+前\(n-1\)个人没开奖且恰好第n个人开奖；
故答案就是找\(p(n)-p(n-1)\)最大时的\(n\)；