一、Kernels I(核函数I)
在非线性函数中,假设函数为:
将表达式改变一下,将其写为:
联想到上次讲到的计算机视觉的例子,因为需要很多像素点,因此若f用这些高阶函数表示,则计算量将会很大,那么对于我们有没有更好的选择呢?
由此引入核函数的概念。
对于给定的x,
其中,similarity()函数叫做核函数(kernel function)又叫做高斯核函数,其实就是相似度函数,但是
我们平时写成。
这里将代入,则f1表达式为:
若,则
若x is far from,则
下面的图形会给出比较直观的感受:
在此基础上,看下面的例子:
对于紫色的点x,因为其距离比较近,距离,比较远,因此,theta值是已知的,将theta和f的值代入即可得到这个点的预测值。
对于蓝色的点,因为其距离,,都比较远,因此,代入即可得到预测值。
通过选取很多这样的x值,得到他们的预测值,得到边界,如图红色不规则封闭图形所示,在图形内部预测值为y=1,在图形外部的预测值y=0。
二、Kernels II(核函数II)
上面Kernels I内容中讲到了,那我们应该怎么样选出呢?
我们采取的方法是将每一个样本都作为一个标记点。
SVM with Kernels
给出,我们选择。
对于x,则有
有向量
其中。
对于训练样本,有
其中,,
且
于是,假设函数变成
其中,m为训练集的大小
带核函数的代价函数为:
注意:这里我们仍然不把θ0计算在内。
最小化这个函数,即可得到支持向量机的参数。
若涉及到一些优化问题,可以选择n=m。
另外,说明:
,其中,
另外,在实际应用中有人将其实现为下述公式,这是另一种略有区别的距离度量方法,这种方法可以适应超大的训练集:
因为若使用第一种方法,当m非常大时,求解很多参数将会成本非常高。
附上一题关于f_i参数的题目: