洛谷1040 加分二叉树

原题链接

挺水的一道区间\(DP\)。
设\(f[i][j]\)表示在中序遍历下编号\(i \sim j\)的点所构成的子树的最高加分，枚举\(k\)为子树的根，则有状态转移方程：
\[f[i][j] = \max \limits _{k = i + 1} ^ {j - 1} \{ f[i][k - 1] \times f[k + 1][j] + f[k][k] \}\]
初始化\(f[i][i]\)为点\(i\)的分数，\(f[i][j] = f[i][i] + f[i + 1][j]\)，即左子树为空。
因为题目并没有说清楚，实际上要求的前序遍历是所有解中字典序最小的，所以我们要尽量使得编号小的作为根或是左子树中的点，按编号从小到大枚举哪个作为根即可。
求前序遍历可以定义\(r[i][j]\)表示在中序遍历下编号\(i \sim j\)的点所构成的子树的最高加分所选择的根，在\(DP\)过程中不断更新，最后递归输出即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50;
ll f[N][N];
int r[N][N];
inline int re()
{
    int x = 0;
    char c = getchar();
    bool p = 0;
    for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
        p |= c == '-';
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
        x = x * 10 + c - '0';
    return p ? -x : x;
}
void pr(int x, int y)
{
    if (x > y)
        return;
    printf("%d ", r[x][y]);
    pr(x, r[x][y] - 1);
    pr(r[x][y] + 1, y);
}
int main()
{
    int i, j, k, l, n;
    n = re();
    for (i = 1; i <= n; i++)
        f[i][i] = re(), r[i][i] = i;
    for (l = 2; l <= n; l++)
        for (i = 1; i + l - 1 <= n; i++)
        {
            j = i + l - 1;
            f[i][j] = f[i][i] + f[i + 1][j];
            r[i][j] = i;
            for (k = i + 1; k < j; k++)
                if (f[i][j] < f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k])
                {
                    f[i][j] = f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k];
                    r[i][j] = k;
                }
        }
    printf("%lld\n", f[1][n]);
    pr(1, n);
    return 0;
}