树形dp+思维 加分二叉树（洛谷 P1040）

加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：1个整数n(n<30)，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<100）。

输出格式

第1行：1个整数，为最高加分（Ans≤4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

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感觉这道题特别思维；

首先要知道只知道中序遍历是不可能得到一颗二叉树的前后遍历的，因为只知道中序遍历那么可以任意把一个点当为根；

也就是利用了这个最特别的性质，可以写出方程：dp[l][r]=max{dp[l][k-1],dp[k+1][r]}

dp[l][r]表示中序遍历 l 到 r （题目给出的 l 必小于 r ）以 k 为根结点，l 为左子树根结点，r为右子树根结点的最大加分；

这个时候有个疑问了如果 l>r 怎么办，明显这个代表 l 和 r 之间没有联系，返回1即可；

如果l==r呢？这代表 l 为叶子结点，返回 w[l] 即可；

还有个前向遍历，思路一样，只要记录root[l][r]的根就可以了；

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=100010;
const int M=2000100;
const LL mod=1000007;
int n,w[100],root[100][100];
LL dp[100][100];
LL dfs1(int l,int r){
	if(l>r) return 1ll; 
	if(dp[l][r]!=-1) return dp[l][r];
	LL mmax=0;
	for(int k=l;k<=r;k++){
		LL sum=dfs1(l,k-1)*dfs1(k+1,r)+w[k];
		if(sum>mmax){
			root[l][r]=k;
			mmax=sum;
		}
	}
	return dp[l][r]=mmax;
}
void dfs2(int l,int r){
	if(l>r) return;
	int rt=root[l][r];
	cout<<rt<<" ";
	dfs2(l,rt-1);
	dfs2(rt+1,r);
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=w[i],root[i][i]=i;
	cout<<dfs1(1,n)<<endl;
	dfs2(1,n);
	return 0;
}