【luogu P1040 加分二叉树】 题解

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1040

今天考试考了一个区间DP...没错就是这个...

太蒟了真是连区间DP都不会...看了看题解也看不懂，于是请了某獴dalao给补充了一下。

在这里把自己的理解写下来，算是给一些像我一样不会区间DP的萌新们一点指引。

所谓区间dp，顾名思义就是在一段区间上的动态规划。

它既要满足dp问题的最优子结构和无后效性外，还应该符合在区间上操作的特点。我们是用小区间的最优推出大区间的最优。

通常我们是拿f[i][j]表示区间i—j。在这个题中，我们就用f[i][j]表示区间i—j的最大权值。

对于区间DP，我们通常是一层循环枚举区间的长度，一层循环枚举区间的左端点。然后进行我们需要的DP就行了。

具体对这个题的做法代码里有注释。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, v[31], f[31][31], root[31][31], l, r;
void print(int l, int r)
{
    if(l > r) return;
    printf("%d ",root[l][r]);
    print(l, root[l][r]-1);
    print(root[l][r]+1,r);
}
int main()
{
    //freopen("binary.in","r",stdin);
    //freopen("binary.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d",&v[i]);
        f[i][i] = v[i];//当只有自己的时候，最大就是自己 
        root[i][i] = i;//root[i][j]表示在区间i—j中，以哪个点作为根得到的权值最大。 
    }
    
    for(int k = 2; k <= n; k++)//枚举区间大小 
        for(int l = 1; l+k-1 <= n; l++)//枚举区间内的端点 
        {
            r = l+k-1;
            if(f[l][r] < v[l]+f[l+1][r])
            {
                f[l][r] = v[l]+f[l+1][r];
                root[l][r] = l;
            }//右子树为空，只有左子树 的情况 
            
            if(f[l][r] < v[r]+f[l][r-1])
            {
                f[l][r] = v[r]+f[l][r-1];
                root[l][r] = r;
            }//左子树为空，只有右子树 的情况 
            
            for(int i = l+1; i <= r-1; i++)
            {
                if(f[l][i-1]*f[i+1][r]+v[i] > f[l][r])
                {
                    f[l][r] = f[l][i-1]*f[i+1][r]+v[i];
                    root[l][r] = i;
                }
            }//左右子树均不为空 
        }//整个是在枚举在一段区间内，分别以每个点做根的情况 
        printf("%d\n",f[1][n]);//很明显我们所求的是1—n区间 
        print(1,n);//输出路径不多讲了 
        return 0;
}