旋转矩阵的推导过程

刚体变换

定义

一个映射g: $\R^3 \to \R^3$如果满足一下两个特性，则是刚体变换
1. 长度保持不变： $\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert$, 所有 $p,q\in\R^3$
2. 叉乘保持不变： $g_*(v×w)=g_*(v)×g_*(w)$，所有向量 $v,w\in\R^3$

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旋转矩阵

A坐标系

$X_A=[1\ 0]^T$
$Y_A =[0\ 1]^T$

在A坐标系下的B坐标系

$X_B=cos\theta \|X_A\|X_A+sin\theta\|X_A\| Y_A=[cos\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ sin\theta\ 0]^T=[cos\theta \ sin\theta \ 0]^T$
$Y_B=-sin\theta \|Y_A\|X_A+cos\theta \|Y_A\|Y_A=[-sin\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ cos\theta\ 0]^T=[-sin\theta \ cos\theta \ 0]^T$

构造矩阵

将 $X_B\ Y_B$放到一个矩阵里 $R_{ab}=[X_B \ Y_B]$,将之称为旋转矩阵

意义

将一个点的坐标值在不同的基底下进行变换
P点在B坐标系下为 $P_B(a,b)$，可以进行一下变换
$P=[X_B\ Y_B]\begin{bmatrix} a \\b\\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =aX_B+bY_B \\ \ \ \ \ =(cos\theta X_A+sin\theta Y_A)a+(-sin\theta X_A+cos\theta Y_A)b\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]R_{ab}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}$
可以看到，我们把基底从 $[X_B\ Y_B]$换成了 $[X_A\ Y_A]$，也就是同一个点，在B坐标系下的坐标为 $[a \ b]^T$,在A坐标系下的坐标为 $R[a \ b]^T$,可以理解为是空间中同一个点在不同的坐标系中（坐标系旋转了）的表示，也可以理解为同一个坐标系下，是点在运动（假设坐标系没动，那么动的就是点）。

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平移变换

刚体变换除了旋转外还有平移运动，假设变换后的坐标系B的原点在原来坐标系A下为 $P_{AB}=[x_1 \ y_1]^T$则
$P_A=R_{AB}P_B+P_{AB}$
结合以上的推导，我们可以将刚体变换写成齐次坐标的形式
$P_A=\begin{bmatrix} R_{AB} & P_{AB}\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} P_{B} \\ 1\end{bmatrix}$

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以上的推导同样可以拓展到三维空间里

绕Z轴旋转的旋转矩阵

$R_Z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta & cos\theta & 0 \\0&0&1\end{bmatrix}$

绕Y轴旋转的旋转矩阵

$R_Y(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta &0& sin\theta \\ 0&1&0\\ -sin\theta &0& cos\theta \end{bmatrix}$

绕X轴旋转的旋转矩阵

$R_X(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta \\0&sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}$