旋转矩阵详解

动机

在阅读全局式SfM文献时，Rotation Averaging 和 Translation Averaging过程中涉及到3维旋转矩阵的计算，大体上理解，但是不透彻。3维旋转矩阵和2维旋转矩阵大多内容都是一致的，但在2维这些理论理解起来更方便，本文的目的就是通过理解2维旋转矩阵的一些理论来理解3维旋转矩阵的对应理论。

问题抽象

求解

设：op两点间距离为r。
$\because$
$x_i = r \cdot \cos \alpha$；
$y_i = r \cdot \sin \alpha$；
$x_j = r \cdot \cos(\alpha + \beta) = r \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta - r \cdot \sin \alpha \cdot \sinβ$；
$y_j = r \cdot \sin(\alpha + \beta) = r \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta + r \cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha$；
$\therefore$
$x_j = x_i \cdot \cos \beta - y_i \cdot \sin \beta$；
$y_j = x_i \cdot \sin \beta + y_i \cdot \cos \beta$；
写成矩阵形式：
$p_j = R_{ij} \cdot p_i ；R_{ij} = \begin {bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \\ \end {bmatrix}$

旋转矩阵

前一节提到的 $R_{ij} = \begin {bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \\ \end {bmatrix}$ 就是我们所说得旋转矩阵，显然旋转矩阵是正交矩阵。

几个值得思考的问题

• 旋转角度的正负：将坐标系 $i$（旧坐标系）旋转一角度β，得到坐标系 $j$（新坐标系）。显然顺时针旋转和逆时针旋转得到的旋转矩阵是不同的，在上一节的推导中，我们默认顺时针旋转时，旋转角度为正值，逆时针旋转时，旋转角度为负值（顺 + 逆 - ），即当为顺时针旋转时将β带入上述矩阵 $R_{ij}$，当为逆时针旋转时将 -β 带入上述矩阵 $R_{ij}$，即得到旋转矩阵。
• 旋转矩阵的相对性：单纯地说我有一个旋转矩阵 $R$ ，是没有意义的，我不知道它是将 $i$ 坐标系下的坐标转换为 $j$ 坐标系下的坐标还是将 $j$ 坐标系下的坐标转化为 $i$ 坐标系下的坐标，即旋转矩阵必须表明 “旋转矩阵是从谁到谁的” 。通常我们采用下标的方式表明旋转矩阵的相对性，例如 $R_{ij}$ 表示 “ 从 $i$ 坐标系到 $j$ 坐标系的旋转矩阵” ，它可以将 $i$ 坐标系下的坐标转换为 $j$ 坐标系下的坐标，即， $p_j = R_{ij} \cdot p_i$ 。
• 旋转矩阵 $R_{ij}$ 的作用：旋转矩阵 $R_{ij}$ 一方面，可以还原从坐标系 $i$ 到坐标系 $j$ 的旋转过程（先计算出旋转角 β ，然后就可以脑补出坐标系 $i$ 旋转到坐标系 $j$ 的过程），另一方面，我门可以完成不同坐标系间的坐标转换任务（即： $p_j = R_{ij} \cdot p_i$ ）。

旋转矩阵公式

1. $R_{ij} \cdot R_{ji} = E$
   证明：
   $\because$
   $p_j = R_{ij} \cdot p_i$
   $p_i = R_{ji} \cdot p_j$；
   $\therefore$
   $p_j = R_{ij} \cdot R_{ji} \cdot p_j$；
   $\therefore$
   $R_{ij} \cdot R_{ji} = E$。
2. $R_{ik} = R_{jk} \cdot R_{ij}$
   证明：
   $\because$
   $p_j = R_{ij} \cdot p_i$；
   $p_k = R_{jk} \cdot p_j$；
   $\therefore$
   $p_k = R_{jk} \cdot R_{ij} \cdot p_i$；
   又 $\because$
   $p_k = R_{ik} \cdot p_i$；
   $\therefore$
   $R_{ik} = R_{jk} \cdot R_{ij}$。

全局旋转矩阵

之前的旋转矩阵 $R_{ij}$ 都描述的是 坐标系 $i$ 和坐标系 $j$ 之间旋转关系。全局旋转矩阵表明了，某个坐标系 与全局坐标系（这里用坐标系 $g$ 表示）之间的旋转关系（可以将全局坐标系 $g$ 下的坐标转换为其它坐标系（e.g. 坐标系 $i$ ）下的坐标，即： $R_{gi}$ ）。因为全局旋转矩阵都是相对于全局坐标系 $g$的，所以可以将下标 $g$ 统一省略掉，即， $R_{gi} = R_i$ 。因此当一个旋转矩阵只有一个下标时，那它就是一个全局旋转矩阵，但别忘了它的本质：它实际上是一个相对旋转矩阵（ $R_{gi} = R_i$ ）。

全局旋转矩阵公式

1. 根据全局旋转矩阵计算相对旋转矩阵： $R_{ij} = R_j \cdot R_i^\mathrm{T}$
   证明：
   $R_{ij} = R_{gj} \cdot R_{ig} = R_{gj} \cdot R_{gi}^\mathrm{T} = R_j \cdot R_i^\mathrm{T}$。