拓展欧几里得算法求逆元

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/MMMMMMMW/article/details/81071927

前置技能：欧几里得算法，详细可见https://blog.csdn.net/mmmmmmmw/article/details/79228656

此外，可以用费马小定理求逆元，详细可见：https://blog.csdn.net/MMMMMMMW/article/details/81071927

逆元

已知（A/B)%M = (A * 1/B)%M = ( (A % M) * ( (1/B) % M) )% M

令H为B的逆元，则　H %Ｍ  = (1/B) % M，同时乘以B（显然B不等于0）

得H * B %M = 1 % M

即H * B ≡ 1  (mod M)

拓展欧几里得算法

逆元可以通过拓展欧几里得来得到。

首先，（A/B）%m中，我们要求B的逆元，也就是Bx+my = gcd（B，m）中的x，其中B，m为已知的。

通过欧几里得算法，我们可得

gcd（B，m）= gcd（m，B%m）

即Bx1+my1  =  mx2 + （B%m）y2 = mx2 + （B - B/m*m）y2 = By2 + m（x2 - B/m）

可得，x1 = y2，y1 = （x2-B/m）

我们一直递归，可到终止条件，即

x = 1，y = 0  （此时gcd（a，0），可得a*x= a）

下面是模板代码:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b,a%b,x,y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a/b*y;
	return r;
}