矩阵与动态规划相关

• 54/59螺旋矩阵
• 62不同路径
• 64最小路径和
• 120三角形最小路径和
• 695岛屿的最大面积
• 547朋友圈
• 718最长重复数组
• 221最大正方形
• 121/122/123/714/188买卖股票的最佳时机
• 416分割等和子集
• 01背包/最近等分子集
• 70爬楼梯

54/59螺旋矩阵

思路：

• 设置上下左右四个边界变量
• 新建ArrayList存储结果
• 循环：四个循环，左->右，上->下，右->左，下->上。每次循环添加结果，循环后判断边界是否相等了，是的话就退出

// 设置边界变量
int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
int left = 0, right = n - 1, up = 0, down = m - 1;

// 循环，注意right = n - 1，所以遍历范围i <= right
while (true){
    for (int i = left; i <= right; i++){
        res.add(matrix[up][i]);
        // 获取回旋矩阵的话用 res[up][i] = val++;
    }
    if (++up > down) break;
    
    for (int i = up; i <= down; i++){
        res.add(matrix[i][right]);
    }
    if (--right < left) break;
    
    for (int i = right; i >= left; i--){
        res.add(matrix[down][i]);
    }
    if (--down < up) break;
    
    for (int i = down; i >= up; i--){
        res.add(matrix[i][left]);
    }
    if (++left > right) break;
}

62不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

思路：画图

int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        dp[j] += dp[j - 1]; 
    }
}
return dp[n-1];

64最小路径和

与上面未经优化的代码有点像。

思路：

• 新建dp，填充起步数值。
  • 第一个值为grid[0][0]
  • 第一行和列通过前一个格子和grid的对应值的和来填充
• 遍历
  • dp[i][j]的值为grid的对应值加上上一步dp的最小值

int m = grid.length, n = grid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
dp[0][0] = grid[0][0];
for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = grid[i][0] + dp[i - 1][0];
for (int i = 1; i < n; ++i) dp[0][i] = grid[0][i] + dp[0][i - 1];
for (int i = 1; i < m; ++i) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
    }
}
return dp[m - 1][n - 1];

120三角形最小路径和

思路：

• 新建数组，复制最后一行
• 循环
  • 将第一个数改为第一个数与第二个数的最小值加下上一行的第一个数，第二个数改为第二个数与第三个数的最小值加上一行第二个数，如此类推。

要注意的是下面j的范围j <= i

for (int i = n - 2; i >= 0; i--){
    for (int j = 0; j <= i; j++){
        dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + m.get(i).get(j);
    }
}

695岛屿的最大面积

思路：

• 遍历二维数组
  • 如果当前数值==1，说明是岛屿，而且没有遍历过，此时调用helper计算这个岛屿的面积，并根据返回结果更新res
• helper函数
  • 检查岛屿坐标的合法性，没有超边界和数值==1（后续调用需要检查）
  • 把当前岛屿值变为0，说明已经遍历
  • return 1+对四个方位调用helper

547朋友圈

思路：

• 新建一个visited数据记录已被遍历的人
• 开始遍历，如果这个人还没被遍历过，那么就是一个新的朋友圈，cnt++，然后调用helper递归搜索这个人的朋友。
• helper，先把遍历到的人在visited中设置为true，然后遍历这个人的行，如果是朋友，且这个人没有被遍历过，那么就递归调用helper。

// 设置人数变量、朋友圈数计算器
int n = M.length, cnt = 0;

// 记录visited的人的数组
boolean[] visited = new boolean[n];

// 按顺序遍历每个人，如果没有访问过才开始调用helper
for (int i = 0; i < n; i++){
    // 如果未访问过，就调用helper
    if (!visited[i]){
        helper(M, i, visited);
        // 遍历一次，朋友圈数 +1
        cnt++;
    }
}
return cnt;

// helper
visited[k] = true;
// 遍历这个人的朋友
for (int i = 1; i < m.length; i++){
    // 如果这个人是朋友，而且没有访问过，那就调用helper
    if (m[k][i] == 1 && !visited[i]){
        helper(m, i, visited);
    }
}

718最长重复数组

输入:
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出: 3
解释: 
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1]。

思路：

• 递推公式为dp[j] = A[i] == B[j] ? dp[j-1] + 1 : 0。然后画图，先画二维，再到一维。

221最大正方形

思路：

• 新建与参数一样大小的dp
• 遍历填充

if (i == 0 || j == 0) dp[i][j] = matrix[i][j] - '0';
else if (matrix[i][j] == '1') {
    dp[i][j] = 当前dp左上，上，左的最小值 + 1;
}
res = Math.max(res, dp[i][j]);

return res * res;

121/122/123/714/188买卖股票的最佳时机

121：只允许一笔交易

122：允许多笔交易

123：只允许两笔交易

714：允许多笔交易，包含手续费

188：只允许k笔交易

int sell = 0, buy = Integer.MIN_VALUE + free; // free为714，防止第一步溢出
for (int price : prices){
    // 第二个 sell 表示第i天前最后一个操作是卖，此时的最大收益。第一步的sell肯定得到0
    sell = Math.max(sell, price + buy - free); // free为714
    // 121
//    buy = Math.max(buy, 0 - price);
    // 122
    buy = Math.max(buy, sell - price); 
}
return sell;

// 123
int buy1 = Integer.MIN_VALUE, sell1 = 0;
int buy2 = Integer.MIN_VALUE, sell2 = 0;
for (int price : prices) {
    // 这里要倒排，因为sell2是依赖之前的buy2数据，buy2依赖之前的sell1数据，如此类推
    sell2 = Math.max(sell2, buy2 + price);
    buy2 = Math.max(buy2, sell1 - price);
    sell1 = Math.max(sell1, buy1 + price);
    buy1 = Math.max(buy1, 0 - price); // max寻找最低购入价，第一步buy的sell都是0
}

return sell2;

// 188
if (k > prices.length) {
    // 122代码
}
// 下面代码把k改为2，就是123的答案
int[] buyArr = new int[k+1];
int[] sellArr = new int[k+1];
Arrays.fill(buyArr,Integer.MIN_VALUE);
for (int price : prices) {
    for (int i = k; i > 0; i--) {
        sellArr[i] = Math.max(sellArr[i], price + buyArr[i]);
        buyArr[i] = Math.max(buyArr[i], sellArr[i-1] - price);
    }
}
return sellArr[k];

416分割等和子集

判断数组中的数是否可以被分割成两份和相等的子集

思路：

• 累加判断子集和是否为偶数，不是偶数就已经不可能等分了
• 总和/2作为目标值，并新建boolean dp[target+1]
• 遍历
  • 递推思想：当前dp是否为true，取决于之前是否已经可以组成i，或者考虑上当前遍历的num就能等于i。公式为：dp[i] = dp[i] || dp[i - num]

int sum = 0;
for (int num : nums) sum += num;
if ((sum & 1) != 0) return false;

int target = sum >> 1;

// dp[i]表示上面解法的 j ，即前面所有元素的组合的"和"是否能够等于i
boolean[] dp = new boolean[target + 1];
dp[0] = true;
for (int num : nums) {
    // 直接从num开始，因为考虑了num，那么其组合最小也等于num
    for (int i = target; i >= num ; i--) {
        dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
    }
}

return dp[target];

01背包/最近等分子集

01背包

思路：

递推公式f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1], f[i - 1][j]);取和不取第i个物品的最大值作为f[i][j]。从公式中可知，没有j-1，所以dp在j的维度上不需要1。另外，公式中考虑了i-1，所以dp在i维度上要+1，而i=1时所考虑的0，即没有考虑任何物品，所以dp值自然都是0，不需要另外初始化。由于只考虑i-1，所以可以用一维的dp，每次更新dp时，其本身的值就是之前的值。要注意的是j的起始值为当前物品的重量，因为小于这个重量，就不可能考虑加入这个物品了。最后，由于j - w[i - 1]，说明j要考虑之前的值，所以1维的覆盖要从后往前。

int[] dp = new int[capacity];

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = capacity-1; j >= w[i]; j--) {
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);
    }
}
return dp[capacity-1];

最近等分子集

思路：

• 累加子集然后除以二得target。目标是让选取的子集的和尽可能接近targe。类比上题可得优化后的递推公式为dp[i] = Math.max(dp[i - num] + num, dp[i]);与“416分割等和子集”一样的方式得出target，由于取最接近，所以不需要判断可能性。dp也类似，选取的是i代表子集中所考虑的与

for (int num : arr) {
    for (int i = target-1; i >= num; i--) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - num] + num, dp[i]);
    }
}

return sum - 2 * dp[target-1];

70爬楼梯

f(x) = f(x-1) + f(x-2)