动态规划 矩阵乘法

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算法提高 矩阵乘法  

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问题描述

　　有n个矩阵，大小分别为a0*a1, a1*a2, a2*a3, ..., a[n-1]*a[n]，现要将它们依次相乘，只能使用结合率，求最少需要多少次运算。
　　两个大小分别为p*q和q*r的矩阵相乘时的运算次数计为p*q*r。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示矩阵的个数。
　　第二行包含n+1个数，表示给定的矩阵。

输出格式

　　输出一个整数，表示最少的运算次数。

样例输入

3
1 10 5 20

样例输出

150

数据规模和约定

　　1<=n<=1000, 1<=ai<=10000。

dp[i][j]的含义：从第i个矩阵到第j个矩阵的最优解

动态规划状态方程：

    dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]);

这个题和合并石子很相似，这个题应该是默认了每一个矩阵只能和左右两个矩阵相乘，每次矩阵乘法的最后都是两个矩阵的相乘，要求从矩阵i到矩阵j的相乘的最小值 ，就要比较（j-i）次得到最小值。

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1001;
const ll inf = INT_MAX;
ll dp[maxn][maxn];
ll a[maxn];
ll n;
int main(){
	cin>>n;
	for(ll i = 0;i <=n;i++)
		cin>>a[i];  //默认为第i个矩阵的大小为 a[i-1]*a[i]， 
	for(ll i = 1 ; i <= n;i++)
		for(ll j = 1;j <= n;j++){
			if(i == j)
				dp[i][j] = 0; // i == j 就是只有一个矩阵，dp[i][j]就是0 
			else
				dp[i][j] = inf;  //初始化为最大值 
		}
	
	for(ll j = 2;j<= n;j++)
		for(ll i = j-1; i > 0;i--)  // j从前向后 ，i从j-1开始递减 ，可以保证再求dp[i][j]时所用到的 dp[i][k],dp[k+1][j]都是已经求得的 
			for(ll k = i; k <= j;k++)
						dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+ a[i-1]*a[k]*a[j]); 
		//从矩阵i到k相乘得到的矩阵的计算次数 加上 从矩阵k+1到j相乘求的的矩阵 的计算次数  加上 这两个得到的矩阵相乘的计算次数 
	cout<<dp[1][n]<<endl; //从矩阵1到矩阵n 的计算次数 
	return 0;
}