矩阵连乘问题_动态规划

1）问题引导

从上面我们可以知道不同的结合方式，矩阵计算的次序数不一样，那么如何求这个最小次序数的划分，即如何结合。这就是矩阵连乘问题

使用动态规划可以解决

如下图，如果我们使用递归，则会产生大量的重复计算，复杂度太高，当然使用备忘录降低复杂度。不过更好的是使用递推

递推算法分析如下：

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void matrixChain(int n,int p[],int m[][100],int s[][100])//递推
 4 {
 5    for(int i=1;i<=n;i++){//对角线先为0
 6     m[i][i]=0;
 7    }
 8    for(int r=2;r<=n;r++){//一共n-1个对角线
 9     for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//第i行
10         int j=i+r-1;//在该行的对角线上的点对应的j值
11         m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//初始化此时在i处取得最优解
12         s[i][j]=i;
13         for(int k=i+1;k<j;k++){//如果有更小的则被替换
14             int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
15             if(t<m[i][j])
16             {
17                 m[i][j]=t;
18                 s[i][j]=k;
19             }
20         }
21     }
22    }
23 }
24 void print_optimal_parents(int s[100][100],int i,int j)//打印划分的结果
25  {
26      if( i == j)
27          cout<<"A"<<i;
28      else
29      {
30          cout<<"(";
31          print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);
32          print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);
33          cout<<")";
34      }
35 
36  }
37 int main()
38 {
39     int p[1000];//每个矩阵的行数和最后一个的列数
40     int m[100][100];//存储最优子结构
41     int s[100][100];//存储当前结构的最优断点
42     memset(p,0,sizeof(p));
43     memset(m,0,sizeof(m));
44     memset(s,0,sizeof(s));
45     cout << "请输入矩阵的个数"<< endl;
46     int n;
47     cin >> n;
48     cout << "请依次输入每个矩阵的行数和最后一个矩阵的列数"<< endl;
49     for(int i=0;i<=n;i++){
50         cin >> p[i];
51     }
52     matrixChain(n,p,m,s);
53     cout <<"这些矩阵相乘的最少次数是"<<m[1][n]<<endl;
54 
55      cout<<"结果是:"<<endl;
56      print_optimal_parents(s,1,n);
57     return 0;
58 }