矩阵连乘（动态规划）

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Description

给你2个矩阵A、B，我们使用标准的矩阵相乘定义C=AB如下：  A数组中栏（column）的数目一定要等于B数组中列（row）的数目才可以做此2数组的相乘。若我们以rows(A)，columns(A)分 别代表A数组中列及栏的数目，要计算C数组共需要的乘法的数目为：rows(A)*columns(B)*columns(A)。例如：A数组是一个 10x20的矩阵，B数组是个20x15的矩阵，那么要算出C数组需要做10*15*20，也就是3000次乘法。 要计算超过2个以上的矩阵相乘就得决定要用怎样的顺序来做。例如：X、Y、Z都是矩阵，要计算XYZ的话可以有2种选择：(XY)Z 或者 X(YZ)。假设X是5x10的数组，Y是10x20的数组，Z是20x35的数组，那个不同的运算顺序所需的乘法数会有不同： (XY)Z • 5*20*10 = 1000次乘法完成(XY)，并得到一5x20的数组。 • 5*35*20 = 3500次乘法得到最后的结果。 • 总共需要的乘法的次数：1000+3500=4500。 X(YZ) • 10*35*20 = 7000次乘法完成(YZ)，并得到一10x35的数组。 • 5*35*10 = 1750次乘法得到最后的结果。 • 总共需要的乘法的次数：7000+1750=8750。 很明显的，我们可以知道计算(XY)Z会使用较少次的乘法。 这个问题是：给你一些矩阵，你要写一个程序来决定该如何相乘的顺序，使得用到乘法的次数会最少。

Input

含有多组测试数据，每组测试数据的第一列，含有1个整数N（N <= 10）代表有多少个数组要相乘。接下来有N对整数，代表一数组的列数及栏数。这N个数组的顺序与要你相乘的数组顺序是一样的。N=0代表输入结束。请参考Sample Input。

Output

每组测试数据输出一列，内容为矩阵相乘的顺序（以刮号来表示）使得所用的乘法次数最小。如果有不只一组答案，输出任一组均可。请参考Sample Output。

Sample Input
3
1 5
5 20
20 1
3
5 10
10 20
20 35
6
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
20 25
0
Sample Output
Case 1: (A1 x (A2 x A3))
Case 2: ((A1 x A2) x A3)
Case 3: ((A1 x (A2 x A3)) x ((A4 x A5) x A6))

思路：需要一个m二维数组记录一下矩阵i到矩阵j的最少乘法次数，s二维数组记录一下矩阵i到矩阵j需要在哪个位置加括号。p一维数组记录一下矩阵的规模

 那最后怎么输出括号顺序呢，我用了一个结构体，里面有两个变量:x代表矩阵i左括号的个数，y代表矩阵i右括号的个数。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[100],m[100][100],s[100][100],n;
struct A
{
    int x;
    int y;
}a[100];
void matrx()
{
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int r=2;r<=n;r++)
    {
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
        {
            int j=i+r-1;
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//递推公式
            s[i][j]=i;
            for(int k=i+1;k<j;k++)//在其中找一个最小的
            {
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j])
                {
                    m[i][j]=t;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    return ;
}
void PRINT(int i,int j)
{
    if(i==j)
        return ;
    PRINT(i,s[i][j]);
    PRINT(s[i][j]+1,j);
    //cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"ans A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
    a[i].x++;
    a[j].y++;
}
int main()
{
    int e=1;
    while(cin>>n&&n)
    {
        int x,y;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>x>>y;
            p[i]=x;
            if(i==n-1)
                p[n]=y;
        }
        memset(a,0,sizeof(a));
        matrx();
        //下面为输出
        PRINT(1,n);
        printf("Case %d: ",e++);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i!=1)
                printf(" x ");
            while(a[i].x)
            {
                printf("(");
                a[i].x--;
            }
            printf("A%d",i);
            while(a[i].y){
                printf(")");
                a[i].y--;
            }
        }
        printf("\n");

    }
    return 0;
}