Manacher可以有效的在\(O(n)\)时间内解决一个字符串的回文子串的题目
目录
- 简介
- 讲解
- 推介
- 简单的练习
- 恐怖的练习QAQ
- 小结
简介
开头都说了，Manacher是目前解决回文子串的最有效的方法之一，可以在\(O(n)\)时间内处理出以这个点为中心的最大回文子串长度。
讲解
1. 将偶数的回文子串处理成奇数回文子串
在暴力处理回文子串的过程中，我们会把偶数与奇数的分成两个判断
相信大家一定会有这个疑问，那么，我们在开头、结尾与两两字符中间插入一个没有出现过的字符，如：'#'，举个栗子：aaaa做完处理为：#a#a#a#a#。
那么偶数的回文子串就是以'#'为中心的字符串。
为什么在开头与结尾插入一个'#'，首先，仔细思考：
在#a#a#a#a#不管以哪个字符为中心，枚举到的回文子串的开头与结尾都肯定是'#'号，如：a#a，我们可以在两个a再向外扩展一个'#'。
如果不在开头与结尾加的话，就会出现开头结尾不是'#'的异类回文子串，如a#a。
那么，我们就可以愉快直接算长度为奇数的回文子串了。
2. 统计答案
由于后面的内容会十分的血腥，所以我还是先把简单的搬到前面。
首先，我们定义一个数组ma数组，\(ma_{i}\)代表以\(i\)到以\(i\)为中心的最大回文子串的开头的长度，如：#a#b#b#c#b#，中以\(c\)为中心，组成的最大回文子串为#b#c#b#，c到最右边的#的串长度为4，所以他的\(ma\)就为4！
那么，如何统计答案？
如图：
回归正题，我们发现，b的ma值是4，同时真正的回文子串是3（去掉#号），难道就是ma值减1？
没错，就是，为什么？
我们继续思考：把右边的字母与左边的'#'号调转一下
如图：
首先，我们知道，目前我们是以字母作为中心而不是'#'， 那么，在回文子串中中心左边的子串就呈现这种情况：#?#?#?#...#（问号是字母），而这个子串的长度是中心的ma值减1，'#'的个数是?的个数加1。
而右边也是#?#?#?#...#（问号是字符），长度也一样，'#'与?的个数也一样，那么把右边的字母与左边的'#'号调转一下，我们会发现右边的子串全是'#'，而左边只剩下一个'#'号。
那么，根据ma数组的定义，以字母为中心的回文子串的长度为ma值减1。
那以'#'为中心的呢？
貌似也是ma值减1哟。
继续，如果以#为中心，那么回文子串中心的左边与右边的子串也都是#?#?#?，长度为ma值减1，同时#的个数与?的个数相同，把左边的'#'与右边的'#'交换，那么左边全都是?，而中心是个'#'号，所以也是ma值减1。
处理ma数组
没错，这也是最重要的！
学过EXKMP的话，这个应该是可以自己手推的。
现在处理以a为中心的回文子串，难道还要从1开始？
细心的同学发现了，由于第三个位置（'#'）的ma值为3，我们可以发现，\(st_{2}=st_{4},st_{1}=st_{5}\)，我们可以大胆的猜想一下我们可以将\(ma_{2}\)作为一个参考，\(ma_{2}\)值为2，仔细一看，\(ma_{4}\)的值至少为2！
继续参考EXKMP。
我们得到一下步骤：
- 统计目前回文子串能到的最远位置(p)与是哪个中心(b)。
- 设\(L=ma_{b-(i-b)}\)
- 当\(i+L-1<p\)时，ma的值直接等于L
- 当\(i+L-1≥p\)时，ma值为\(p-i+1\)，然后开始直接暴力匹配，更新b与p。
其实在\(i+L-1>p 并且 i≤p\)时，ma值其实直接等于\(p-i+1\)就可以了，不需要暴力匹配，跟EXKMP差不多。
至于更改了b与p为什么答案还一样，我就不一一赘述了，都跟EXKMP差不多。
现在都还不懂的话，看代码自行理解吧
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 23000000
using namespace std;
char st[N],sst[11000000];
int ma[N],n,ans;//定义
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}
void Man()
{
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;//情况1
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;//至少为1
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && st[i-pp]==st[i+pp])pp++;//(i-pp+1)-1>=1,i+pp-1+1<=n
ma[i]=pp;b=i;p=ma[b]+b-1;ans=mymax(ans,ma[i]-1);//更新
}
}
}
int main()
{
scanf("%s",sst+1);n=strlen(sst+1);
for(int i=1;i<=n;i++)st[i*2]=sst[i];
st[n*2+1]='#';for(int i=1;i<=n;i++)st[i*2-1]='#';//填'#'号
n=n*2+1;Man();//匹配
printf("%d\n",ans);
return 0;
}推介
其实Manacher在学完EXKMP后，在学一点Manacher的概念，就可以手推了，毕竟我也是在历史课上手推的。（应该也归功于以前学过一次）。
总之也挺好理解的，就不一一赘述了。
简单的练习
基本上都是自己会做的。。。
Manacher一大部分的统计题都是\(O(n)\)可以统计，一般到了\(O(n^{2})\)，就不大正常了，简单的例题都是\(O(n)\)可以统计的。
在Manacher匹配中，统计每个位置为开头或结尾的回文子串最长是多少。
然后在后面在更新全局：\(ll_{i}=mymax(ll_{i},ll_{i-2}-2)\)（跳过'#'），\(rr_{i}=mymax(rr_{i},rr_{i+2}-2)\)（跳过'#'）。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define N 210000
using namespace std;
char st[N],stt[N];
int ma[N],f[N],n,ll[N]/*为开头*/,rr[N]/*为结尾*/,ans;
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}
void Man()
{
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && st[i-pp]==st[i+pp])pp++;
ma[i]=pp;b=i;p=ma[b]+b-1;
}
ll[i-ma[i]+2]=ma[i]-1;
!rr[i+ma[i]-2]?rr[i+ma[i]-2]=ma[i]-1:0;//用贪心来省时间
}
}
int main()
{
scanf("%s",stt+1);n=strlen(stt+1);
st[n*2+1]='#';for(int i=1;i<=n;i++)st[i*2]=stt[i],st[i*2-1]='#';
n=n*2+1;Man();
for(int i=2;i<n;i+=2)ll[i]=mymax(ll[i],ll[i-2]-2);
for(int i=n-1;i>=2;i-=2)rr[i]=mymax(rr[i],rr[i+2]-2);//后面递推更新
for(int i=4;i<=n;i+=2)
{
if(rr[i-2] && ll[i])ans=mymax(ans,rr[i-2]+ll[i]);//统计答案
}
printf("%d\n",ans);//输出
return 0;
}用类似差分统计，然后用快速幂加速一下。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1100000
#define mod 19930726
using namespace std;
typedef long long ll;
char st[N];
int ma[N],n;
ll sum[N],ans,f[N],k;
void Man()
{
f[1]=n;
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && st[i-pp]==st[i+pp])pp++;
ma[i]=pp;b=i;p=ma[b]+b-1;
}
f[ma[i]*2+1]--;
}
}
ll kpow(ll x,ll p)//快速幂
{
ll qwq=1;
while(p)
{
if(p%2==1)qwq*=x,qwq%=mod;
x*=x;p>>=1;x%=mod;
}
return qwq;
}
int main()
{
scanf("%d%lld",&n,&k);
scanf("%s",st+1);
Man();
for(int i=1;i<=n;i+=2)f[i]+=f[i-2];//差分的前缀和。
ans=1;
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if((i&1)==0)continue;//不是'#'
sum[i]=f[i]+sum[i+2];
if(sum[i]>=k)//达到限制
{
ans*=kpow(i,k-sum[i+2]);ans%=mod;
break;//退出
}
if(i==1)//没有
{
printf("-1\n");
return 0;
}
ans*=kpow(i,f[i]);ans%=mod;
}
printf("%lld\n",ans);//输出
return 0;
}同样记录是否是开头或结尾，然后用乘法统计，一个数字乘以一个前缀和而已。
当然还是用了差分。。。
就不多讲了，luogu有题解
//用了与第一题不同的统计方法
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 4100
using namespace std;
char st[N],stt[N];
int ma[N],n,ll[N],rr[N];
long long ans;
void Man()
{
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && st[i-pp]==st[i+pp])pp++;
ma[i]=pp;b=i;p=b+ma[b]-1;
}
ll[i-ma[i]+1]++;ll[i]--;rr[i+ma[i]-1]++;rr[i]--;//差分
}
}
int main()
{
scanf("%s",stt+1);n=strlen(stt+1);
st[1]='#';for(int i=1;i<=n;i++)st[i*2+1]='#',st[i*2]=stt[i];
n=n*2+1;Man();//匹配
for(int i=1;i<=n;i++)ll[i]+=ll[i-1];
for(int i=n;i>=1;i--)rr[i]+=rr[i+1];//先处理每个数的和
for(int i=3;i<=n;i+=2)rr[i]+=rr[i-2];//再处理一个的前缀和
for(int i=1;i<=n;i+=2)ans+=ll[i]*rr[i];//统计
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}这里稍微有些不同，我们不是找两边相等的回文子串，而是找两边相反的回文子串，如：1100。
而且必须是以'#'为中心，首先，按题意理解，回文子串必须是偶数长度的，其二，由于换了回文子串的定义，所以在Manacher的匹配中，以一个数字为中心也会出错，这个很容易想为什么，所以Manacher只找以'#'为中心的情况就是了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1100000
using namespace std;
char st[N],stt[N];
int ma[N],n;
long long ans;
void Man()
{
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2/*只找'#'号*/)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && (st[i-pp]=='#'?1:st[i-pp]==(st[i+pp]^1)/*不同的计算方法*/))pp++;
ma[i]=pp;b=i;p=ma[b]+b-1;
}
ans+=(ma[i]-1)/2;//统计
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
scanf("%s",stt+1);
st[1]='#';for(int i=1;i<=n;i++)st[i*2+1]='#',st[i*2]=stt[i];
n=n*2+1;
Man();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}用一个数组记录以这个位置为开头的最长不下降子序列的长度。
然后匹配的时候统计答案。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 210000
using namespace std;
int n,st[N],ma[N],f[N],ans;
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}//最小值
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}//最大值
void Man()
{
int b=0,p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ma[b-(i-b)];
if(i+L-1<p)ma[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<1?1:p-i+1;
while(i-pp>=1 && i+pp<=n && st[i-pp]==st[i+pp])pp++;
ma[i]=pp;b=i;p=ma[b]+b-1;
}
ans=mymax(mymin(ma[i]-1,f[i]-1),ans);//统计
}
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
ans=0;
scanf("%d",&n);
st[1]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&st[i*2]);
st[i*2+1]=-1;
}
n=n*2+1;
//输入
f[1]=1;
int mind=251,minid=0;
for(int i=2;i<=n;i+=2)
{
if(mind<=st[i])mind=st[i],f[i]=i-minid+2;//包括一个-1
else mind=st[i],minid=i,f[i]=2;
f[i+1]=f[i]+1;//方便后面记录答案
}//处理最长不下降子序列
Man();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}恐怖的练习
听说是Hash+Manacher判重，不过不想做了QAQ。
这个就真的不会了QAQ，好像是Manacher+朴素统计+优化。
小结
Manacher真的是一个不错的算法QMQ