Manacher(马拉车)算法详解

马拉车用于解决最长回文子串问题，重点是子串，而不是子序列，想了解最长回文子序列的可以看下这篇博客传送门。对于这种问题，当然最简单粗暴的方法就是暴力求解，但太暴力也不好，毕竟会TLE。所以对于求最长回文子串的问题有一种神奇的算法——马拉车算法，神奇就神奇在时间复杂度为O(n)。

我先说一下大概思路，就是用一个Len[i]数组去存第i个位置到mx位置的长度，然后用id记录上一次操作的位置，mx标记上一次的最长子串的最右端，然后依次去递推。不太好理解(花了好几个小时才懂)，现在看不懂没关系，我尽量讲的详细点。

以hihoCoder的一道裸题为例，只要能AC就差不多懂了，题目链接：传送门

先定义一个字符串s = "ababc"，因为对于回文字符串来说有对称轴，比如说aba就是以b作为对称轴，那么当字符串长度为偶数的时候，对称轴就不是唯一的整数位了。所以我们要对原字符串

做一个预处理，在每个字符左右都加上一个特殊字符，这里我用'#'，那么处理后的字符串str就是#a#b#a#b#c#了，不管原字符串长度是奇数还是偶数，处理后的长度都变成偶数了。然后还需要在这个str的最前面加一个不同于之前的特殊字符的特殊字符，这里我用了'%'(因为在后面的while循环中在匹配字符的时候可能会越界)。这样预处理操作就完了，最后的字符串str就是%#a#b#a#b#c#了。

首先需要明白的是，我定义的mx是上一次操作的最长回文子串的最右端，我解释一下，比如说ababa，第一次对i=2操作的时候，会计算出他的最回文子串为aba(长度为3)，则在这次操作结束后mx的位置就是4，也就是aba的下一位。而我定义的id是上一次操作的位置，也就是i的位置，还以刚才的例子为例，在对i=2操作结束后，id的位置就是2。姑且先这么理解，知道他是什么就行，后面再去思考。

Len数组里存的是第i个位置到mx位置的长度，比如说还是ababa，当i=2的时候，可以计算出aba是它此时的最长回文子串，那么mx的位置就是aba的下一位，那Len[2]存的就是mx - i了。最重要的就是Len数组，所以这点一定要弄明白，Len存的是，当前这个位置到它的最长回文子串的最右端的距离(也就是mx的位置)。在str字符串中，Len[i] = 2*Len[i] - 1(因为有特殊字符)，在s字符串中Len[i] = mx - id + 1。

知道这些后，开始进入正题，先看下核心代码。

首先把mx初始化0，然后开始从i=1开始遍历str，当i>=mx的时候，也就是i在mx前面的时候，就让Len[i] = 1，表示在i之前没有回文串出现，所以让Len从1开始，然后先不说i<mx的情况，然后往下走到while循环，这个循环就是用来判断这个位置的最长回文子串的，就是以这个点为中心，然后依次比较左边一个和右边一个、左边第二个和右边第二个...是否相等，相等的话就让Len[i]++，就相当于这个位置到这个位置的子串的最右端的长度++。然后再比较这个点+这个点的回文长度是否超过了mx的位置，超过的话就更新一下mx的值，因为mx是此次操作的最长回文子串的最右端。

然后对于i<mx的情况就稍微有点不太好理解了，参考着上图我讲一下这种情况。这是一个以id(上一次操作的位置)为中点长度为mx-my的回文串，j是以id为中点的i的对称点，因为j在之前遍历的时候就已经操作过了，所以Len[j]是已知的又因为回文串的性质可以知道Len[j]<=Len[i]的，my是mx的对称点。对于i<mx的情况还要再分情况，就是Len[j]和mx-i比较了，上图的情况是Len[j]是小于mx-i的，表示j位置的最长回文子串的长度是在id位置的最长回文子串的范围内的，还有一种情况就是Len[j]>mx-i，如下图所示，Len[j]的长度的范围超出了my。

所以我们需要对这两种情况再讨论一下，当Len[j] < mx-i的时候，表示Len[i]的长度可能不会超过mx-i，所以我们就从i的Len[2*id - i]也就是Len[mx-i]的地方开始匹配。当Len[j] > mx - i的时候，说明i位置的子串长度超过了mx，但mx以外的地方还没有遍历到，所以我们就从mx-i也就是mx的位置开始对i匹配。

然而最后的结果就是下图这样的

用一个sum去更新最大值就行了。我觉得挺不好理解的，建议耐下心想一想，模拟一遍，有不懂的都可以评论，有不对的地方也请指出。然后上一个前面说的那道题的代码，也是Manacher的模板。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define Min(a,b) a>b?b:a
#define Max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
int Len[3000005];
char str[3000005],s[3000005];
int n,mx,id,len;

void init(){
    memset(str,0,sizeof(str));
    int k=0;
    str[k++] = '$';
    for(int i=0;i<len;i++){
        str[k++]='#';
        str[k++]=s[i];
    }
    str[k++]='#';
    len=k;
}

int Manacher(){
  Len[0] = 0;
  int sum = 0;
  mx = 0;
  for(int i=1;i<len;i++){
    if(i < mx) Len[i] = Min(mx - i, Len[2 * id - i]);
    else Len[i] = 1;
    while(str[i - Len[i]]== str[i + Len[i]]) Len[i]++;
    if(Len[i] + i > mx){
      mx = Len[i] + i;
      id = i;
      sum = Max(sum, Len[i]);
    }
  }
  return (sum - 1);
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  while(n--){
    scanf("%s",s);
    len = strlen(s);
    init();
    int temp = Manacher();
    printf("%d\n",temp);
  }
  return 0;
}

最后上一个手动模拟了一下午的草图。

Manacher(马拉车)算法详解

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