Manacher “马拉车”算法

1.回文：正着念和反着念都是一样的，就是可以对称。

2.暴力解不是很好，因为有奇数和偶数长度的串。奇数长度可以方便地扩展回文，但是偶数不便扩展。

3.使用技巧：在字符串的每个字符的两边都穿插特殊标记符号(任何符号都可以：因为虚轴不会和实轴比对)。这就使所有的字符串都变成了奇数长度。

4.例如：11311 ---> #1#1#3#1#1# -->1 3 5 3 1 11 1 3 5 3 1 最长回文就是最大值➗2。即11311的最大回文数是11/2=5。

5.前提概念：

回文直径：以某个字符为中心，扩展出来的回文长度。

回文半径：回文直径的一半

回文半径数组：从0开始，从左往右开始求回文半径，将每个位置的回文半径存入回文半径数组。

回文右边界：从左往右扩，右边界是当前字符为中心扩展回文右边最远的位置。

回文右边界中心：第一次到达右边最远位置的中心

可能性1：i位置不在回文右边界里面。例如：#1#2#1# 求解第一个#时回文右边界是-1，不在回文右边界里面，更新回文右边界到“#”位置；扩展第一个“1”时，回文右边界在“#”位置，所有右边界更新为“1”位置。

可能性2：i位置在回文右边界内；带求解的i在回文右边界中心c的对称i*的范围在c的回文范围内。i的回文半径就是i*的回文半径。

可能性3：i位置在回文右边界内；带求解的i在回文右边界中心c的对称i*的范围不在c的回文范围内。i的回文半径就是i到R的距离（最远右边界）。

可能性4：i位置在回文右边界内；带求解的i在回文右边界中心c的对称i*的回文半径和以c为回文半径压线（重合）。i到R这部分必定是回文，但是往右边的下一位是不是，就得继续判断，不确定。

可能性：根据上面分析的4种情况，可以综合出以下内容。

CASE1：i在R外 ----->暴力扩展

CASE2：i在R内

A)i*回文在L,R内 ---->直接得解：i的回文半径就是i*的回文半径

B)i*回文在L,R外 ---->直接得解：i是(R-i)

C)i*回文左边界与L重合，则需要确定R的右边继续查找是否符合。

算法复杂度：O(N)

上面可能性的示例：

注释：{ }：L,R

[ ]：i或者i*的范围

加黑字母：c

加黑斜体字母：i或者i*

下划线为i的回文直径

CASE2(A): t {F [aba] ktk [aba] F} s

CASE2(B): [ab {cEcba] tttabcEc} F

CASE2(C): {[abcEcba]FFF[abcEcba]}? -->继续判断“？”是否等于“F”

代码展示：

def manacher_string(str):
    string = "#"
    for i in str:
        string = string + i + "#"
    return string

# a = manacher_string("dfdfsd")
# print(a)


def manacher(str):
    arr = []  # 回文半径数组
    str = manacher_string(str)
    C = -1  # C是回文中心
    R = -1  # R是回文右边界
    max = 0  # 更新最大回文数
    for i in range(len(str)):
        # 如果R>i,意味着符合CASE2中的A:i*在边界内-->arr[i] = arr[2*c-i],
        #                           B：i*在边界外-->arr[i] = R-i
        #                           C：i*与边界重合-->arr[2*c-i] == R-i
        # 当i >= R时，需要暴力扩。

        arr.append(min(arr[2*C-i], R-i))if R > i else arr.append(1)
        while i + arr[i] < len(str) and i - arr[i] > -1:  # i - arr[i] 左极限是第一个元素的情况 0-1=-1
            if str[i+arr[i]] == str[i-arr[i]]:
                arr[i] = arr[i] + 1
            else:
                break
        if i + arr[i] > R:  # 更新最大右边界和中心
            R = i + arr[i]
            C = i
        max = arr[i] if arr[i] > max else max
    return max - 1

a = manacher("abxxba")
print(a)

Manacher “马拉车”算法

可能性：根据上面分析的4种情况，可以综合出以下内容。

代码展示：

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