Manacher(马拉车)算法总结

Manacher算法

在介绍算法之前，首先介绍一下什么是回文串，所谓回文串，简单来说就是正着读和反着读都是一样的字符串，比如abba，noon等等，一个字符串的最长回文子串即为这个字符串的子串中，是回文串的最长的那个。

计算字符串的最长回文字串最简单的算法就是枚举该字符串的每一个子串，并且判断这个子串是否为回文串，这个算法的时间复杂度为O(n^3)的，显然无法令人满意，稍微优化的一个算法是枚举回文串的中点，这里要分为两种情况，一种是回文串长度是奇数的情况，另一种是回文串长度是偶数的情况，枚举中点再判断是否是回文串，这样能把算法的时间复杂度降为O(n^2)，但是当n比较大的时候仍然无法令人满意，Manacher算法可以在线性时间复杂度内求出一个字符串的最长回文字串，达到了理论上的下界。
可以这么说，这行要是理解了，那么马拉车算法基本上就没啥问题了，那么这一行代码拆开来看就是
首先，Manacher算法提供了一种巧妙地办法，将长度为奇数的回文串和长度为偶数的回文串一起考虑，具体做法是，在原字符串的每个相邻两个字符中间插入一个分隔符，同时在首尾也要添加一个分隔符，分隔符的要求是不在原串中出现，一般情况下可以用#号。下面举一个例子：
由于回文串的长度可奇可偶，比如"bob"是奇数形式的回文，"noon"就是偶数形式的回文，马拉车算法的第一步是预处理，做法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符，比如加上'#'，那么

bob --> #b#o#b#

noon --> #n#o#o#n#

这样做的好处是不论原字符串是奇数还是偶数个，处理之后得到的字符串的个数都是奇数个，这样就不用分情况讨论了，而可以一起搞定。接下来我们还需要和处理后的字符串t等长的数组p，其中p[i]表示以t[i]字符为中心的回文子串的半径，若p[i] = 1，则该回文子串就是t[i]本身，那么我们来看一个简单的例子：

# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。通过p数组我们就可以找到其最大值和其位置，就能确定最长回文子串了，那么下面我们就来看如何求p数组，需要新增两个辅助变量mx和id，其中id为最大回文子串中心的位置，mx是回文串能延伸到的最右端的位置，这个算法的最核心的一行如下：
```
p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
```
如果mx > i, 则 p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i)

否则， p[i] = 1

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

代码：

#include<iostream>  
#include<string.h>
#include<algorithm>  
using namespace std;
 
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
 
int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;
 
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }
 
    s_new[j] = '\0';  //别忘了哦  
 
    return j;  //返回s_new的长度  
}
 
int Manacher()
{
    int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换  
    int maxLen = -1;   //最长回文长度  
 
    int id;
    int mx = 0;
 
    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
        else
            p[i] = 1;
 
        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'  
            p[i]++;
 
        //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率 
        if (mx < i + p[i])  
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }
 
        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
    }
 
    return maxLen;
}
 
int main()
{
    while (printf("请输入字符串：\n"))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
 
    return 0;
}

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