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首先，得先了解什么是回文串（我之前就不是很了解，汗）。回文串就是正反读起来就是一样的，如“abba”。关于采用时间复杂度为O(n^2)，以每个字符为中心去向两端遍历寻找最大回文串的方法，可以见我之前些的博客，戳这里！
当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”，之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况，会产生重复计算，然后就产生了一个问题，能否改进？答案是能，1975年，一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法，俗称马拉车算法，其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的，至于如何利用，且由后面慢慢道来。
在时间复杂度为O(n^2)的算法中，我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性，比如说“abba”的长度为偶数，“abcba”的长度为奇数，这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况，是否可以统一处理了？
马拉车算法：
一）第一步是改造字符串S，变为T，其改造的方法如下：
在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”，如：S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4，而T的长度为9，长度变为奇数了！！那S的长度为奇数的情况时，变化后的长度还是奇数吗？我们举个例子，S=“abcba”，变化为T=“#a#b#c#b#a#”，T的长度为11，所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数，这样就可以统一的处理奇偶的情况了。
二）第二步，为了改进回文相互重叠的情况，我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中，P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径，表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度，如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。举一个简单的例子感受一下：
数组P有一性质，P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ，那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度，至于证明，首先在转换得到的字符串T中，所有的回文字串的长度都为奇数，那么对于以T[i]为中心的最长回文字串，其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1，也就是有P[i]个分隔符，剩下P[i]-1个字符来自原字符串，所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心】
另外，由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。
三）如何求数组P [ ]
从左往右计算数组P[ ]， Mi为之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到达的最右端的值。
1）当 i <=R时，如何计算 P[ i ]的值了？毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性，我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ，其值为 j= 2*Mi-i 。因，点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内（[L ,R]），
a）那么如果P[j] <R-i （同样是L和j 之间的距离），说明，以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R]，由回文串的特性可知，从左右两端向Mi遍历，两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（这里得先从点j转到点i 的情况），如下图：
b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 为中心的回文串的最左端超过 L），如下图所示。即，以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ，这种情况，等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗？显然不总是成立的！因，以点 j 为中心的回文串的最左端超过L，那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等于R- i，至于是否大于R-i（图中红色的部分），我们还要从R+1开始一一的匹配，直达失配为止，从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。
2）当 i > R时，如下图。这种情况，没法利用到回文串的特性，只能老老实实的一步步去匹配。
相应的代码如下：
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; string Manacher(string s) { /**改造字符串*/ int len=s.size(); string res="$#"; for(int i=0;i<len;i++) { res+=s[i]; res+='#'; } // cout<<res<<endl; //改造后的串 /** 数组 */ vector<int>P(res.size(),0); int Mid=0,R=0;//Mid为当前选中的回文串的中心 R为当前选中的回文串能到达的最右端的位置 int maxLen=0,maxPoint=0;//最大回文串长度 最大回文串中心点 for(int i=1;i<res.size();i++) { P[i]=R>i?min(P[2*Mid-i],R-i):1; while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]]) P[i]++;//+个$的作用出来了 这样就不会越界了 if(R<i+P[i]) //超过了最右端 则改变中心点和对应的最右端 { R=i+P[i]; Mid=i; } if(maxLen<P[i])//更新最大回文串长度 并记下此时的中心 { maxLen=P[i]; maxPoint=i; } } // cout<<"*"<<maxLen<<endl; return s.substr((maxPoint-maxLen)/2,maxLen-1); } int main() { string s; cin>>s; cout<<Manacher(s)<<endl; return 0; }