【学习笔记】扩展欧拉定理

• 定理内容：

$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~~~~~(mod~p)$

• 对于 $(a,p)=1$ 的证明：
  • 假设 $p$ 的简化剩余系为 $\{\overline{a_1},\overline{a_2},\dots,\overline{a_{\phi(p)}} \}$。
  • 对 $\forall a_i,a_j,$ 若 $a\times a_i\equiv a\times a_j(mod~p)$，因为 $(a,p)=1$，所以 $a_i\equiv a_j$。故当 $a_i\neq a_j$ 时， $a\times a_i$ 和 $a\times a_j$ 也属于不同的同余类。
  • 又因为简化剩余系关于模 $p$ 乘法封闭，所以 $\{\overline{aa_1},\overline{aa_2},\dots,\overline{aa_{\phi(p)}} \}$ 也是 $p$ 的简化剩余系。
  • 所以 $a^{\phi(p)}a_1a_2\dots a_{\phi(p)} \equiv (aa_1)(aa_2)\dots(aa_{\phi(p)})\equiv a_1a_2\dots a_{\phi(p)}(mod~p)$。
  • 故 $a^{\phi(p)}\equiv 1(mod~p)$。
  • 故 $a^b\equiv (a^{\phi(p)})^{\lfloor\frac{b}{\phi(p)}\rfloor}a^{b\%\phi(p)}\equiv a^{b\%\phi(p)}(mod~p)$。
• 对于 $(a,p)\neq 1$的证明：
  • （转自：BAJim_H）