若 $(a,m)=1$ ，则满足

a^{φ (m)} \equiv 1 (m o d m)

$a^{\varphi (m)} \equiv 1\ (mod \ m)$

证明

\begin{array}{l} 设 与 m 互 质 的 数 为 b_{1}, b_{2}, b_{3}, . . ., b_{φ (m)} \\ ∵ (a, m) = 1 \\ ∴ a b_{1}, a b_{2}, a b_{3}, . . ., a b_{φ (m)} 都 与 m 互 质 ， 且 每 个 数 均 不 相 同 \\ ∴ {b_{1}, b_{2}, b_{3}, . . ., b_{φ (m)}} 中 ， 每 一 个 数 一 定 与 {a b_{1}, a b_{2}, a b_{3}, . . ., a b_{φ (m)}} 中 的 一 个 数 同 余 ， 且 一 一 对 应 。 \\ ∴ a^{φ (m)} \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i} \equiv \prod_{i = 1}^{φ (m)} a b_{i} \equiv \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i} \equiv 1 (m o d m) \\ ∴ m ∣ a^{φ (m)} \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i} - \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i} \\ 即 m ∣ (a^{φ (m)} - 1) \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i} \\ 又 ∵ (m, \prod_{i = 1}^{φ (m)} b_{i}) = 1 \\ ∴ m ∣ a^{φ (m)} - 1 \\ 即 a^{φ (m)} \equiv 1 (m o d m) \end{array}

$\begin{array}{l} 设与m互质的数为b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\\ \because (a,m)=1\\ \therefore ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)} 都与m互质，且每个数均不相同\\ \therefore\{b_1,b_2,b_3,...,b_{\varphi (m)}\}中，每一个数一定与\{ab_1,ab_2,ab_3,...,ab_{\varphi (m)}\}中的一个数同余，且一一对应。\\ \therefore a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}ab_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i \equiv 1\ (mod\ m)\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i-\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\ 即m \mid (a^{\varphi (m)}-1)\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i\\ 又\because (m,\prod_{i=1}^{\varphi (m)}b_i)=1\\ \therefore m \mid a^{\varphi (m)}-1\\ 即a^{\varphi (m)} \equiv 1\ (mod \ m) \end{array}$

费马小定理

当 $p$ 为质数，则

a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)

$a^{p-1} \equiv 1\ (mod\ p)$
因为

p

$p$ 为质数时，

φ (p) = p - 1

$\varphi(p)=p-1$

扩展欧拉定理

扩展到不要求互质

当 $(a,m)=1$ 时，

a^{c} \equiv a^{c m o d φ (m)} (m o d m)

$a^c \equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)}\ (mod\ m)$
证明略

当 $(a,m)≠ 1且c<\varphi(m)$ 时，

a^{c} \equiv a^{c} (m o d m)

$a^c\equiv a^c\ (mod\ m)$
无需证明

当 $(a,m)≠ 1且c\geq \varphi(m)$ 时，

a^{c} \equiv a^{c m o d φ (m) + φ (m)} (m o d m)

$a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ (mod\ m)$

证明

\begin{array}{l} 取 a 的 质 因 子 p ， 令 m = s \times p^{r} ， 且 (s, p) = 1 \\ p^{φ (s)} \equiv 1 (m o d s) \\ ∵ s 不 含 因 子 p \\ ∴ φ (s) ∣ φ (m) \\ ∴ p^{φ (m)} \equiv 1 (m o d s) \\ ⟹ p^{φ (m) + r} \equiv p^{r} (m o d s \times p^{r}) \\ ⟹ p^{k φ (m) + r} \equiv p^{r} (m o d m) (k 为 任 意 正 整 数) \\ a 中 含 有 p 因 子 p^{k} \\ {(p^{k})}^{c} \equiv p^{k c} \equiv p^{k φ (m) + k c} \equiv {(p^{k})}^{φ (m) + c} \equiv (p^{k})^{t φ (m) + c} (m o d m) (t 为 任 意 正 整 数) \\ ⟹ {(p^{k})}^{c} \equiv {(p^{k})}^{c m o d φ (m) + φ (m)} (加 φ (m) 为 了 保 证 c \geq φ (m)) \\ a 的 每 个 质 因 子 都 满 足 上 式 \\ 同 余 式 可 相 乘 ， 乘 起 来 即 为 a^{c} \equiv a^{c m o d φ (m) + φ (m)} (m o d m) \end{array}

$\begin{array}{l} 取a的质因子p，令m=s\times p^r，且(s,p)=1\\ p^{\varphi(s)}\equiv 1\ (mod\ s)\\ \because s不含因子p\\ \therefore \varphi(s)\mid \varphi(m)\\ \therefore p^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ s)\\ \Longrightarrow p^{\varphi(m)+r}\equiv p^r\ (mod\ s\times p^r)\\ \Longrightarrow p^{k\varphi(m)+r}\equiv p^r\ (mod\ m)\ (k为任意正整数)\\ a中含有p因子p^k\\ {(p^k)}^c\equiv p^{kc}\equiv p^{k\varphi(m)+kc}\equiv {(p^k)}^{\varphi(m)+c}\equiv (p^k)^{t\varphi(m)+c}\ (mod\ m)\ (t为任意正整数)\\ \Longrightarrow {(p^k)}^c\equiv {(p^k)}^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ \ (加\varphi(m)为了保证c\geq \varphi(m) )\\ a的每个质因子都满足上式\\ 同余式可相乘，乘起来即为a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}\ (mod\ m) \end{array}$

用途

再也不用担心指数爆炸了！！指数也可以取模了

题目

BZOJ3884（推公式）
BZOJ4869（+线段树）

欧拉定理及扩展（附证明）

证明

费马小定理

扩展欧拉定理

证明

用途

题目

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