现代控制理论之状态矢量的线性变换

状态矢量的线性变换

一.状态矢量线性变换的基本原理

我们的知道，建立系统的状态空间表达式具有非唯一性，主要原因是选取不同的状态矢量就会有不同的状态空间表达式。基于此，提出了状态矢量的线性变换，其基本原理如下：

设给定系统：

$\bf \dot x= Ax+Bu$ $\bf x(0) = x_0$ $\bf y = Cx+Du$
现给定一个非奇异阵 $\bf T$，将原状态矢量 $\bf x$作线性变换，得到另外一个状态矢量 $\bf z$,满足以下变换关系：
$\bf x= Tz$
即
$\bf z= T^{-1} x$
带入给定系统，得到新的状态空间表达式:
$\bf \dot z= T^{-1} ATz+T^{-1} Bu$ $\bf z(0) = T^{-1} x_0$ $\bf y = CTx+Du$
因为T为任意非奇异阵，所以该状态空间表达式不唯一。T通常称为变换矩阵。

二.状态矢量线性变换的一般实现

为简化状态空间表达式的计算和量化系统的性能，我们希望控制矩阵（A）尽量简单。基于此，提出将状态空间表达式变换为约旦标准型：

即将原系统：

$\bf \dot x= Ax+Bu$ $\bf y = Cx+Du$

变换为：

$\bf \dot z= Jz+T^{-1} Bu$ $\bf y = CTx+Du$

其中（ $\bf A$无重根）：

$J = T^{-1} AT = {\left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0&\cdots& 0\\ 0 & \lambda_2& 0&\cdots& 0\\ 0 & 0& \lambda_3&\cdots\\ \cdots& \cdots& \cdots&\cdots&\cdots\\ 0 & 0 & 0&\cdots&\lambda_n \end{array} \right ]}$

$\lambda_i$为控制矩阵 $\bf A$的特征值， $\bf T$为特殊值所对应的特征矢量组成的矩阵。
至此，一般形式的状态空间表达式就可以化为比较简单的约旦标准型了。

参考文献

《现代控制理论》 --刘豹，唐万生主编。–03版。–北京：机械工业出版社，2015.11