Leetcode 287：寻找重复数（最详细的解法！！！）

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:

输入: [1,3,4,2,2]
输出: 2

示例 2:

输入: [3,1,3,4,2]
输出: 3

说明：

不能更改原数组（假设数组是只读的）。
只能使用额外的 O(1) 的空间。
时间复杂度小于 O(n2) 。
数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

解题思路

我们首先想到的解法就是现将数组nums排序，建立pre和cur两个指针，分别指向前面一个元素和当前元素，然后对于排序好的nums从头到尾的遍历，判断nums[pre]==nums[cur]，如果成立，返回nums[pre]即可，否则的话继续遍历。

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        nums.sort()
        for i in range(len(nums)-1):
            if nums[i] == nums[i+1]:
                return nums[i]

但是我们这种做法改变了原有的数组，所以这种做法就被我们排除了。由于是查找问题，我们不难想到通过二分搜索法，但是这里我们要将原来的二分搜索法做一些调整。我们首先计算mid，然后我们统计数组中小于等于mid元素的个数k，如果k<=mid的话，那么说明重复值在[mid+1,n]之间，否则的话重复值在[1,mid]之间。为什么这样子做是合理的呢？实际上这个问题的思想来源于抽屉原理，我们将包含重复元素的所有数放到一个可以容纳所有数的数组中去，如下

1  2  3  4
__________
1  2  3  4
   2

如果采用下整除策略，此时我们的mid=2，我们发现此时左边元素个数大于右边元素个数，这就是由于重复元素造成的两边不平衡，如果没有重复元素，两边数的个数应该是一样的。我们现在再回到我们的算法，看它是怎么和抽屉原理联系起来的。

1  3  4  2  2
mid=2

我们此时的mid=2（也就是中间抽屉的位置），我们接着统计小于等于2的数的个数（统计抽屉左边元素个数），也就是k=3，而3>2，所以我们在[1,2]这个区间中找重复元素（抽屉左边找重复元素），再次计算mid=1，我们发现k=1<=1，此时我们就知道了2即为重复元素。

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        low, high = 1, len(nums)-1
        
        while low < high:
            mid = (high+low)//2
            count = sum(num <= mid for num in nums)
            if count <= mid:
                low = mid+1
            else:
                high = mid
        return low

这个问题有一个非常巧妙的解法，我们看上面的例子

1  3  4  2  2

如果我们使用t=nums[t]这样的前进方式，我们首先令t=0

t=nums[0]=1
t=nums[1]=3
t=nums[3]=2
t=nums[2]=4
t=nums[4]=2
t=nums[2]=4
...

我们发现进入了循环。我们再使用t=nums[nums[t]]这样的前进策略

t=nums[nums[0]]=3
t=nums[nums[3]]=4
t=nums[nums[4]]=4
....

其实就是比前面快了一倍。这就变成了之前Leetcode 142：环形链表 II（最详细的解法！！！）的问题，我们可以使用快慢指针解决。

class Solution:
    def findDuplicate(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) > 1:
            slow = nums[0]
            fast = nums[nums[0]]
            while slow != fast:
                slow = nums[slow]
                fast = nums[nums[fast]]
                
            entry = 0
            while entry != slow:
                entry = nums[entry]
                slow = nums[slow]
                
            return entry
        
        return -1

讲道理，这种洞察力真的太厉害了。

reference:

http://keithschwarz.com/interesting/code/?dir=find-duplicate

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！

Leetcode 287：寻找重复数（最详细的解法！！！）

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