算法数学知识整理[超基础]

1.欧几里得定理

又称辗转相除法，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b);  gcd(x,y)表示x与y的最大公约数,在求最小公倍数的时候可以直接用a*b/gcd(a,b);

2.扩展欧几里得

扩展欧几里得：存在一组数x、y，使得a*x1+b*y1=gcd(a,b);因此延伸出对x、y的求解。
首先  gcd(a,b)=gcd(b,a%b);将右式按照上式进行代换，得到b*x2+[a-a/b*b]*y2=gcd(b,a%b);(注：此处除法为整除)
由于两式右端相等，因此可以得到 a*x1+b*y1=b*x2+[a-a/b*b]*y2;按照a,b进行整理，

得到a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-a/b*y2);

因此返回的时候，写法如下，int t=x;x=y;y=t-a/b*y;递归函数的定义形式为exgcd(int a,int b,int &x,int &y);

3. a b交换

1).三元交换法

int t=a;

a=b;

b=t

2).作差法

int t=a+b;

a=t-a;

b=t-a;

3).快速写法

b^=a^=b^=a;

3.a^=b^=a^=b;这是基于二进制的方法，理解方法如下：a^=b得到的结果是a与b在二进制下不同的位为1，将这个结果和b抑或之后，得到的就是a,因为a^b得到的数中的某些1是一定是b提供的，与b抑或之后，这些位就不存在了。还有一个疑问就是当1与1抑或成0怎么办，也很简单，如果是这种情况，假设是ci=ai^bi=0，ai==bi==1.那么当bi或者ai与这个0抑或时又会变回1，所以没有影响。

于是欧几里得算法可以用位运算进行加速  while(b^=a^=b^=a%=b);  解析：gcd(int a,int b);终止条件为 gcd(x,0);  因此终止时b为0，赋值运算符是从右到左结合的，所以while里的表达式的最终返回值为b的值，因此是可以在b为0时停止的。

b^=a^=b^=a%=b; 

第一步：a%=b;  

第二步到最后：就是在交换a,b的值。

4.斯特林公式

用来取n阶乘近似值的数学公式。n!=sqrt(2*Pi*n)*(n/e)^n；

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5.求数的位数

(int)floor（log10(x)+0.5）;

注意：c\c++里面的log是log10(X),而不是log2(X)。

如何在c\c++里使用lnx？

1).exp(x)函数  表示自然对数e^x。

2).换底公式     loga(b)/loga(c)=logc(b); 所以  lnx=log(X)/log(exp(1));

6.数的奇偶判断
x&1   举个栗子，假设目前类型是8位short类型,那么1的写法就是00000001,也就是x&1之后得到的只是最后一位。奇偶判断原理是，奇数=小于他的最大偶数+1      偶数=他自己+0   

7.矩阵乘法

for (int i = 0; i <= 1; i++)
{
   for (int j = 0; j <= 1; j++)
   {
    for (int k = 0; k <= 1; k++)
    {
     A[i][j] += B[i][k] * C[k][j];
    }

}

8.快速乘法+快速幂+矩阵快速幂

快速幂的核心思想是二进制思想。例如求A^7  朴素算法是A的连乘7次，而如果采用快速幂是A^4*A^2*A*1   1、2、4恰好对应了二进制低三位的权值。

贴下代码(x^y)：

int sum=1;

while(y)

{

    if(y&1)

    {

        sum*=x;

    }

    x*=x;             

}

补充  x*y%p=((x%p)*(y%p))%p,同样也可以用于快速幂，防止在求累乘的过程中数据溢出。

9.卡特兰数

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 ^[2]  ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式 ^[3]  ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

卡特兰数用于解决的问题：组合问题

求n个东西的组合方式，如果当前考虑的是第i个，那么当前的组合方式为h(i-1)*h(n-i-1);所以对与一个n的组合，将i从第一个考虑到最后一个，那么就是h(0)=h(1)=1;  h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...h(n-1)*h(0);

常用应用：

括号化

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种) ^[4]  

出栈次序

一个栈(无穷大)的 进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的 出栈序列? ^[5-6]  

常规分析

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。ps.author.陶百百）

首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。

此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据 乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据 加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n-1）（n=0，1，2，……）。

最后，令f（0）=1，f（1）=1。

非常规分析

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把 进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位 二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于 出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位 二进制数，由于0的个数多2个，2n为 偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

类似问题 买票找零

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

凸多边形三角划分

在一个 凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

分析

如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据 乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

最后，令f（2）=1，f（3）=1。

此处f（2）=1和f（3）=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”，也许可从 凸四边形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四边形的划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么2×f（2）f（3）=2，则f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的话一定是整数，则f（2）=1，f（3）=1。（因为我没研究过卡特兰数的由来，此处仅作刘抟羽的臆测）。

类似问题

一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

在 圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

给定节点组成二叉搜索树

给定N个 节点，能构成多少种不同的 二叉搜索树？

（能构成h（N）个）

（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

n对括号正确匹配数目

给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：

0对括号：[空序列] 1种可能

1对括号：() 1种可能

2对括号：()() (()) 2种可能

3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能

那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？

考虑n对括号时的任意一种配对方案，最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号，于是有唯一的表示A(B)，其中A和B也是合法的括号匹配序列

假设S(n)为n对括号的正确配对数目，那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0)，显然S(n)是卡特兰数。

扩展

编辑

对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)。证明可以参考标准 catalan数的证明。 ^[7]  

问题1的描述：有n个1和m个-1（n>m），共n+m个数排成一列，满足对所有0<=k<=n+m的前k个数的部分和Sk > 0的排列数。 问题等价为在一个格点阵列中，从（0，0）点走到（n，m）点且不经过对角线x==y的方法数（x > y）。

考虑情况I：第一步走到（0，1），这样从（0，1）走到（n，m）无论如何也要经过x==y的点，这样的方法数为(( n+m-1,m-1 ));

考虑情况II：第一步走到（1，0），又有两种可能：

a . 不经过x==y的点；（所要求的情况）

b . 经过x==y的点，我们构造情况II.b和情况I的一一映射，说明II.b和I的方法数是一样的。设第一次经过x==y的点是（x1，y1），将（0，0）到（x1，y1）的路径沿对角线翻折，于是唯一对应情况I的一种路径；对于情况I的一条路径，假设其与对角线的第一个焦点是（x2，y2），将（0，0）和（x2，y2）之间的路径沿对角线翻折，唯一对应情况II.b的一条路径。

问题的解就是总的路径数 ((n+m, m)) - 情况I的路径数 - 情况II.b的路径数。

((n+m , m)) - 2*((n+m-1, m-1))

或： ((n+m-1 , m)) - ((n+m-1 , m-1))

问题2的描述：有n个1和m个-1（n>=m），共n+m个数排成一列，满足对所有0<=k<=n+m的前k个数的部分和Sk >= 0的排列数。（和问题1不同之处在于此处部分和可以为0，这也是更常见的情况） 问题等价为在一个格点阵列中，从（0，0）点走到（n，m）点且不穿过对角线x==y的方法数（可以走到x==y的点）。

把（n，m）点变换到（n+1，m）点，问题变成了问题1。

方法数为：

((n+m+1, m)) - 2*((n+m+1-1, m-1))

或： ((n+m+1-1, m)) - ((n+m+1-1, m-1))

10.康拓展开

把一个整数X展开成如下形式：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0! ^[1]  

其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始），并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

康拓展开可以用于求当前排列的前面有多少个排列。例如1234的全排列有4！=24个，求3412是第几个。预设一个x=0;

先看第一位3，当前未出现的并且比他小的有1，2，记x=x+2*(4-1)!=12;

第二位4， 当前未出现的并且比他小的有1，2，记x=x+2*(4-2)!=4;

第三位1，没有当前未出现的并且比他小的,记x=x+0*(4-3)!=16;

第二位4，没有当前未出现的并且比他小的,记x=x+0*(4-4)!=16;

故3412是第16+1=17个，前面有20个。

11.常用函数
sort(A，A+n,cmp)快速排序  cmp可缺省（即默认升序【前提是必须该数组内的元素之间已经被默认定义了大小关系或者自己的类重载了<符号】）;

stable_sort(A,A+n,cmp)归并排序 要求同上;

全排列函数：
next_permutation()求下一个全排列;
pre_permutation()求上一个全排列;

初始化函数：

memset(a,0,sizeof(a))或者memset(a,-1,sizeof(a));  会将元素全部填充为0或者-1,一般不能用其他数字的原因在于，memset是把中间的那个参数当作是8位的，在对字符串以外的数据例如32位int赋值时，会对其赋值4次，填充满32位，当为0时，自然没有问题，毕竟32位0结果也是0，-1的话，根据补码的原则，将32位补齐之后也是-1。

fill(a,a+n,x)将从a开始的长度为n的数组中的元素全部赋值为x。注：比memset慢。

初始化技巧：直接开在全局，默认赋值为设置好的默认初始值，基本数据类型通常为0。

转换函数：
atoi() char to int;  int data=atoi("123");   ->data=123;
atof() char to float(实际上是double)  

atol();atoll();strtoi();strtoll();strtof();

char buf[512];

sprintf(buf,"格式",data);

例子：sprintf(buf,"%o",data);将data转换为八进制数并且将结果当作字符串输入buf。

其实内核实现等价于  itoa(data,buf,8);

最值函数：

max_element(A,A+n) 起始地址为A,长度为n的数组中的最大元素 ;

min_element(A,A+n) 起始地址为A,长度为n的数组中的最小元素 ;

注：上述最值函数返回的是一个同数组类型的指针。

unique(A,A+n) 为数组去掉重复元素，并且返回尾指针（数组元素去重后的最后一个元素的后面一个地址），故返回去重后的长度的方法为int x=unique(A,A+n)-A;

sscanf();

1、一般用法

1 2 3

char  buf[512] = ; sscanf ( "123456 " ,  "%s" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 123456

　　2. 取 指定长度的字符串。如在下例中，取最大长度为4字节的字符串。

1 2	sscanf ( "123456 " ,  "%4s" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 1234
　　3. 取到 指定字符为止的字符串。如在下例中，取遇到空格为止字符串。

1 2	sscanf ( "123456 abcdedf" ,  "%[^ ]" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 123456
　　4. 取 仅包含指定字符集的字符串。如在下例中，取仅包含1到9和小写字母的字符串。

1 2	sscanf ( "123456abcdedfBCDEF" ,  "%[1-9a-z]" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 123456abcdedf
　　5. 取到 指定字符集为止的字符串。如在下例中，取遇到大写字母为止的字符串。

1 2	sscanf ( "123456abcdedfBCDEF" ,  "%[^A-Z]" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 123456abcdedf
　　6、给定一个字符串iios/12DDWDFF@122， 获取 / 和 @ 之间的字符串，先将 "iios/"过滤掉，再将非'@'的一串内容送到buf中

1 2	sscanf ( "iios/12DDWDFF@122" ,  "%*[^/]/%[^@]" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： 12DDWDFF
　　7、给定一个字符串 "hello, world"，仅保留"world"。（注意：“，”之后有一空格）

1 2	sscanf (“hello, world”,  "%*s%s" , buf); printf ( "%s\n" , buf);

结果为： world
　　 P.S. %*s表示第一个匹配到的%s被过滤掉，即hello被过滤了，
　　如果没有空格则结果为NULL。 ^[2]