动态规划（dynamic programming），是一种解决问题的方法，它的思路是将大问题分解为子问题，然后合并子问题的解。与分治法将问题分解为彼此独立的子问题不同，动态规划应用于子问题相互重叠的情况。为了避免这些重叠部分（即子子问题）被重复计算，动态规划算法对每个子子问题只计算一次，并记录在一个表格中，这正是programming名字的由来，取其表格之意。
动态规划通常用来求解“最优化问题”，这类问题可以有多种解决方案，每种解决方案对应一个值，我们希望找到具有最大值或最小值（最优值）的解决方案。注意，最优值只有一个，但是最优解决方案可能有多个，因为可能同时有多个解决方案都达到最优值。
We typically apply dynamic programming to optimization problems. Such problems can have many possible solutions. Each solution has a value, and we wish to find a solution with the optimal (minimum or maximum) value. We call such a solution an optimal solution to the problem, as opposed to the optimal solution,since there may be several solutions that achieve the optimal value.
解决这类问题的关键是找出所有的子问题，以及子问题之间的依赖关系。
When we think about a dynamic-programming problem,we should understand the set of subproblems involved and how subproblems depend on one another.
钢条切割问题，给定一段长度为n的钢条和一个价格表pi(i = 1,2,...,n)，求切割钢条方案，使得销售收益r(n)最大。
#include<iostream>
using namespace std;
int p[10] = {1,5,8,9,10,17,17,20,24,30}; //p[i] means price when length = i+1
//参数p代表“长度-价格对照表”，n代表待切割钢条总长度。函数打印最优值和一个最优解决方案，并返回最优值。
//这是一个从r[1]~r[n]自底向上的求解过程，耗时O(n^2)
int bottom_up_cut_rod(int p[], int n)
{
int* r = new int[n+1]; //r[i] means max revenue when length = i
int* s = new int[n];//s[i] means first piece size when length = i+1
r[0] = 0;
int rx,sx,tmp;
for(int i = 1; i != n+1; ++i)
{
rx = -1;
for(int j = 0; j != i; ++j)
{
tmp = p[i-j-1] + r[j];
if(rx < tmp)
{
rx = tmp;
sx = i-j;
}
}
r[i] = rx;
s[i-1] = sx;
}
//print the optimal value and a optimal solution
cout << "r" << n << " = " << r[n] << ", 切割方案 " << n << " = ";
for(int l = n; l != 0; )
{
cout << s[l-1];
l = l - s[l-1];
if(l)
cout << "+";
}
cout << endl;
rx = r[n];
delete[] r;
delete[] s;
return rx;
}
void test()
{
for(int n = 0; n != 11; ++n)
bottom_up_cut_rod(p, n);
}
/*output:
r0 = 0, 切割方案 0 =
r1 = 1, 切割方案 1 = 1
r2 = 5, 切割方案 2 = 2
r3 = 8, 切割方案 3 = 3
r4 = 10, 切割方案 4 = 2+2
r5 = 13, 切割方案 5 = 3+2
r6 = 17, 切割方案 6 = 6
r7 = 18, 切割方案 7 = 6+1
r8 = 22, 切割方案 8 = 6+2
r9 = 25, 切割方案 9 = 6+3
r10 = 30, 切割方案 10 = 10
*/- 课后习题
15.1-2 用总长度为3的钢条就可以举出反例。
假设我们要对长度为3的钢条进行切割，根据钢条密度的定义，当钢条长度为1、 2、 3时，密度依次为d1= p1, d2 = p2 / 2, d3 = p3/3;
下面让我们枚举所有可能切割方案以及总收益r：
方案1：3 = 3, r1 = d3 * 3;
方案2：3 = 2+1, r2 = d2 * 2 + d1;
方案3：3 = 1+1+1, r3 = d1 * 3;按照题目所描述的“贪心”策略，在已知d2是三个密度中最大的情况下，就一定能得出方案2是最优解。
用公式表达，就是：已知d(2)>d(1),d(2) > d(3), 有r2>r1,r2>r3。成不成立呢？已知d2>d1, 可得r2-r3 = 2(d2-d1) > 0, 于是r2>r3得证。
而r2-r1 = 2(d2-d3)+(d1-d3), 只要(d1-d3)足够小，就可以令r2-r1 < 0,就构成了反例。
比如d1=1, d2=5, d3=4 就构成一个反例。