钢条切割问题-动态规划算法

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给定长度n的钢条，怎么切割收益r(n)最大？

r(n)=max(p[n] , r(1)+r(n-1) , r(2)+r(n-2) ,……，r(n-1)+r1)

方案一

1、不切割，收益就是p[n]

2、切成两段，再对每段再继续求最大收益。

 (1,n-1),(2,n-2),(3,n-3)……(n-1,1)

两次递归

方案二

钢条左边切下长度为i的一段，只对右边剩下的长度n-i继续继续切割

r(n)=max(p[i]+r(n-i));

一次递归

自顶向下的递归方法实现

namespace Code5
{
    class Program
    {

        static void Main(string[] args)
        {
            int n = 5;//我们要切割售卖的钢条的长度
            int[] p = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };//索引代表 钢条的长度，值代表价格

            Console.WriteLine(UpDown(0, p));
            Console.WriteLine(UpDown(1, p));
            Console.WriteLine(UpDown(2, p));
            Console.WriteLine(UpDown(3, p));
            Console.WriteLine(UpDown(4, p));
            Console.WriteLine(UpDown(5, p));
            Console.WriteLine(UpDown(6, p));
            Console.WriteLine(UpDown(7, p));
            Console.WriteLine(UpDown(8, p));
            Console.WriteLine(UpDown(9, p));
            Console.WriteLine(UpDown(10, p));
            Console.ReadKey();
        }

        public static int UpDown(int n,int[] p)//自顶向下
        {
            if (n == 0) return 0;

            int tempMaxPrice = 0;//保存最大收益

            for(int i=1;i<n+1;i++)
            {
                int maxPrice = p[i] + UpDown(n - i, p);
                if(maxPrice>tempMaxPrice)
                {
                    tempMaxPrice = maxPrice;
                }
            }
            return tempMaxPrice;
        }

    }
}

缺点：递归运算时会重复同样的计算。

比如 r(10)会分割计算到r(9)r(8),对r(9)计算时又会计算到r(8)，也就是反复求解相同的子问题。

动态规划算法-带备忘的自顶向下递归方法

动态规划算法适用于子问题重叠的情况

对每个子问题只求解一次并保存下来，再次需要计算子问题时，只查找保存的内容即可。

付出额外的内存空间来节省计算时间。

namespace Code5
{
    class Program
    {

        static void Main(string[] args)
        {
            int n = 10;//我们要切割售卖的钢条的长度
            int[] result = new int[n+1];//Add 用来记录每次计算 n+1是还有0的情况
            int[] p = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };//索引代表 钢条的长度，值代表价格

            Console.WriteLine(UpDown(0, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(1, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(2, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(3, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(4, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(5, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(6, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(7, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(8, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(9, p, result));
            Console.WriteLine(UpDown(10, p, result));
            Console.ReadKey();
        }

        public static int UpDown(int n,int[] p,int[] result)//自顶向下
        {
            if (n == 0) return 0;
            if (result[n] != 0) //Add
                return result[n];
            int tempMaxPrice = 0;//保存最大收益

            for(int i=1;i<n+1;i++)
            {
                int maxPrice = p[i] + UpDown(n - i, p,result);
                if(maxPrice>tempMaxPrice)
                {
                    tempMaxPrice = maxPrice;
                }
            }
            result[n] = tempMaxPrice;//Add
            return tempMaxPrice;
        }

    }
}

动态规划算法-自底向上

问题的求解依赖于子问题的解，从小到大解决

namespace Code5
{
    class Program
    {

        static void Main(string[] args)
        {
            int n = 10;//我们要切割售卖的钢条的长度
            int[] result = new int[n+1];//用来记录每次计算 n+1是以为还有0的情况
            int[] p = { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };//索引代表 钢条的长度，值代表价格

            Console.WriteLine(BottomUp(0, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(1, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(2, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(3, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(4, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(5, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(6, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(7, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(8, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(9, p, result));
            Console.WriteLine(BottomUp(10, p, result));
            Console.ReadKey();
        }

        public static int BottomUp(int n,int[] p,int[] result)//自顶向下
        {
            for(int i=1;i<n+1;i++)
            {
                int tempMaxPrice = -1;
                for (int j=1;j<=i;j++)
                {
                    int maxPrice = p[j] + result[i-j];
                    if(maxPrice>tempMaxPrice)
                    {
                        tempMaxPrice = maxPrice;
                    }
                }
                result[i] = tempMaxPrice;
            }
            return result[n];
        }

    }
}