动态规划：钢条切割问题

一、题目

钢条切割问题 是《算法导论》一书中介绍动态规划时的一道引题。即：

某公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。假设切割工序没有成本支出，已知长度为 i 的钢条出售价格为 p_i ，钢条长度均为整数，公司管理希望知道最佳的切割方案。

价格表样例：

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格p_i	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

现给定长钢条的长度 n ，以及长度 i 的钢条售价为 p_i，求钢条切割方案，使得收益最大。

二、分析

首先最容易想到的一种解法就是，将长度为 n 的钢条的切割方案全部罗列出来，然后取出其中一个收益最大的方案返回。

但是，对于长度为 n 的钢条，将会有 2^n-1 种不同的切割方案，在 n 较大时，方案的数量级将急剧增大。因此我们需要考虑使用一种更好的策略来解决这个问题。

动态规划 是典型的使用空间换取时间的一种方法，通过先求解子问题，最终解决问题。

例如，我们先求解出长度为 1 时的最优解，并将结果保存起来；再求解长度为 2 时的最优解，并将结果保存起来；……；最终求得长度为 n 时的最优解返回。在求解长度为 i 时的最优解时，我们需要依次比较长度为 k(1<k<i) 的最优解加上长度为 i-k 的最优解的和，最终选择一个最大值作为长度为 i 时的最优解并保存起来。
最终进行到 n 时，由于前面的最优解都已经得到了，所以我们也很容易得到 n 时的最优解。

三、解答

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        int[] p = new int[] { 0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 }; // 长度为数组索引值，所对应的价值
        int[][] result = cutRob(p, 10);
        System.out.print("i:\t");
        for (int i = 0; i <= 10; i++) {
            System.out.print(i + "\t");
        }
        System.out.print("\nr[i]:\t");
        for (int i = 0; i < result[0].length; i++) {
            System.out.print(result[0][i] + "\t");
        }
        System.out.print("\ns[i]:\t");
        for (int i = 0; i < result[0].length; i++) {
            System.out.print(result[1][i] + "\t");
        }     
    }

    public static int[][] cutRob(int[] p, int n) {
        // result[0] 用来存储不同长度 n 时的最大价值
        // result[1] 用来存储不同长度 n 时的最大价值方案，第一段切割的长度
        int[][] result = new int[2][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int max = Integer.MIN_VALUE;
            int index = 1;
            while (index <= i && index < p.length) {
                int current = p[index] + result[0][i - index];
                if (current > max) {
                    max = current;
                    result[1][i] = index;
                }
                index++;
            }
            result[0][i] = max;
        }
        return result;
    }

}

执行结果：

我们使用 i 表示钢条的长度，用 r[i] 表示长度为 i 的钢条对应的最大价值，用 s[i] 表示最大价值的方案，切割的第一段钢条的长度，那么结果为

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
r[i]	0	1	5	8	10	13	17	18	22	25	30
s[i]	0	1	2	3	2	2	6	1	2	3	10

这里可以看到，假设长度为 9 的钢条的最佳切割方案即是：
第一段切割长度 3，价值 8；切割后长度为 6，切割长度还是 6，价值为 17。最终切割方案为一段 3，一段 6，最大价值为 8 + 17 = 25。