前言：
首先我们来了解一下回文字串的定义：若一个字符串中的某一子串满足回文的性质，则称其是回文子串。（注意子串必须是连续的，而子序列是可以不连续的）
那么若给定一长度为n的字符串，要求出最长回文子串的长度，怎么做呢？
首先想到的是暴力搜索，我就不赘述思路了。那如果n特别大呢？10的7次方怎么做？
于是，我们需要了解一个贼有意思的鸡肋算法manacher，俗称“马拉车”，为什么说是贼有意思呢？因为它的思路实在是巧妙，又为什么说是鸡肋呢？因为它貌似只适用于求解最大回文子串的问题。
这里参考了一位大佬的博客：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html
这个马拉车算法Manacher‘s Algorithm是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫Manacher的人在1975年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性，这是非常了不起的。对于回文串想必大家都不陌生，就是正读反读都一样的字符串，比如 "bob", "level", "noon" 等等，那么如何在一个字符串中找出最长回文子串呢，可以以每一个字符为中心，向两边寻找回文子串，在遍历完整个数组后，就可以找到最长的回文子串。但是这个方法的时间复杂度为O(n*n)，并不是很高效，下面我们来看时间复杂度为O(n)的马拉车算法。
首先说一下为啥会有这个马拉车算法，我们知道回文子串的判定和长度的奇偶性是有关系的，由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里），常用的是"$""#"。
由于回文串的长度可奇可偶，比如"bob"是奇数形式的回文，"noon"就是偶数形式的回文，马拉车算法的第一步是预处理，做法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符，比如加上'#'，那么
bob --> #b#o#b#
noon --> #n#o#o#n#
这样做的好处是不论原字符串是奇数还是偶数个，处理之后得到的字符串的个数都是奇数个，这样就不用分情况讨论了，而可以一起搞定。接下来我们还需要和处理后的字符串t等长的数组p，其中p[i]表示以t[i]字符为中心的回文子串的半径，若p[i] = 1，则该回文子串就是t[i]本身，那么我们来看一个简单的例子：
# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1
为啥我们关心回文子串的半径呢？看上面那个例子，以中间的 '1' 为中心的回文子串 "#2#2#1#2#2#" 的半径是6，而为添加井号的回文子串为 "22122"，长度是5，为半径减1。这是个普遍的规律么？我们再看看之前的那个 "#b#o#b#"，我们很容易看出来以中间的 'o' 为中心的回文串的半径是4，而 "bob"的长度是3，符合规律。再来看偶数个的情况"noon"，添加井号后的回文串为 "#n#o#o#n#"，以最中间的 '#' 为中心的回文串的半径是5，而 "noon" 的长度是4，完美符合规律。所以我们只要找到了最大的半径，就知道最长的回文子串的字符个数了。只知道长度无法确定子串，我们还需要知道子串的起始位置。
我们还是先来看中间的 '1' 在字符串 "#1#2#2#1#2#2#" 中的位置是7，而半径是6，貌似7-6=1，刚好就是回文子串 "22122" 在原串 "122122" 中的起始位置1。那么我们再来验证下 "bob"，"o" 在 "#b#o#b#" 中的位置是3，但是半径是4，这一减成负的了，肯定不对。所以我们应该至少把中心位置向后移动一位，才能为0啊，那么我们就需要在前面增加一个字符，这个字符不能是井号，也不能是s中可能出现的字符，所以我们暂且就用美元号吧，毕竟是博主最爱的东西嘛。这样都不相同的话就不会改变p值了，那么末尾要不要对应的也添加呢，其实不用的，不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。那此时 "o" 在 "$#b#o#b#" 中的位置是4，半径是4，一减就是0了，貌似没啥问题。我们再来验证一下那个数字串，中间的 '1' 在字符串 "$#1#2#2#1#2#2#" 中的位置是8，而半径是6，这一减就是2了，而我们需要的1，所以我们要除以2。之前的 "bob" 因为相减已经是0了，除以2还是0，没有问题。再来验证一下 "noon"，中间的 '#' 在字符串 "$#n#o#o#n#" 中的位置是5，半径也是5，相减并除以2还是0，完美。可以任意试试其他的例子，都是符合这个规律的，最长子串的长度是半径减1，起始位置是中间位置减去半径再除以2。
那么下面我们就来看如何求p数组，需要新增两个辅助变量mx和id，其中id为能延伸到最右端的位置的那个回文子串的中心点位置，mx是回文串能延伸到的最右端的位置，这个算法的最核心的一行如下：
p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
可以这么说，这行要是理解了，那么马拉车算法基本上就没啥问题了，那么这一行代码拆开来看就是
如果 mx > i, 则 p[i] = min( p[2 * id - i] , mx - i )
否则，p[i] = 1
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] = mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。
算法实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn =1e6;
string str;
string s_new;
int len[maxn<<1];
int init(string st)
{
int len = st.size();
s_new='$';
//int j = 2;
// cout<<st;
for(int i =1; i <= 2*len; i+=2)
{
s_new += '#';
s_new += st[i/2];
}
s_new+='#';
s_new+='\0';
return 2*len+1;// 返回 s_new 的长度
}
int Manacher(string st,int len_)
{
int mx = 0,ans = 0,po =0;//mx即为当前计算回文串最右边字符的最大值
for(int i =1; i <= len_ ; i++)
{
if(mx>i)
len[i]=min(mx-i,len[2*po-i]);
else
len[i]=1;//如果i>=mx，要从头开始匹配
while(st[i-len[i]]==st[i+len[i]])
len[i]++;
if(len[i]+i>mx)//若新计算的回文串右端点位置大于mx，要更新po和mx的值
{
mx = len[i]+i;
po = i;
}
ans = max(ans,len[i]);//返回Len[i]中的最大值-1即为原串的最长回文子串额长度
}
return ans - 1;
}