历届试题 公式求值
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问题描述
输入n, m, k，输出下面公式的值。
其中C_n^m是组合数，表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。输入格式
输入的第一行包含一个整数n；第二行包含一个整数m，第三行包含一个整数k。
输出格式
计算上面公式的值，由于答案非常大，请输出这个值除以999101的余数。
样例输入
3
1
3样例输出
162
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样例输入
20
10
10样例输出
359316
数据规模和约定
对于10%的数据，n≤10，k≤3；
对于20%的数据，n≤20，k≤3；
对于30%的数据，n≤1000，k≤5；
对于40%的数据，n≤10^7，k≤10；
对于60%的数据，n≤10^15，k ≤100；
对于70%的数据，n≤10^100，k≤200；
对于80%的数据，n≤10^500，k ≤500；
对于100%的数据，n在十进制下不超过1000位，即1≤n<10^1000，1≤k≤1000，同时0≤m≤n，k≤n。提示
999101是一个质数；
当n位数比较多时，绝大多数情况下答案都是0，但评测的时候会选取一些答案不是0的数据；
参考答案：
import java.util.Scanner;
public class Gongshi{
public static void main(String[] args) {
Scanner C=new Scanner(System.in);
long n=C.nextInt();
long m=C.nextInt();
long k=C.nextInt();
long p=0;
long h=zh(m,n);
//System.out.println(h);
for(int i=0;i<=n;i++){
p+=zh(i,n)*ik(i,k);
}
System.out.println((p*h)%999101);
}
public static long jc(long j){ //求j的阶乘
long sum=1;
for(int i=1;i<=j;i++){
sum*=i;
}
return sum;
}
public static long zh(long a,long b){ //求组合数c(b,a)
long t=jc(b)/(jc(a)*jc(b-a));
return t;
}
public static long ik(long x,long y){ //求x的y次方
long q=1;
for(int p=0;p<y;p++){
q*=x;
}
return q;
}
}
我的代码 1：初稿
import java.util.Scanner;
public class Result {
public static void main(String[] args) {
Scanner sca=new Scanner(System.in);
int n,m,k,sum=0,h;
n=sca.nextInt();
m=sca.nextInt();
k=sca.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++){
sum+=(jc(n)/(jc(i)*jc(n-i)))*(int)Math.pow(i, k);
}
h=jc(n)/(jc(m)*jc(n-m));
System.out.println((sum*h)%999101);
}
public static int jc(int a){
int s=1;
for(int j=a;j>0;j--){
s*=j;
}
return s;
}
}运行结果：
20
10
10
681684我的代码 2：改进
import java.util.Scanner;
public class Result {
public static void main(String[] args) {
Scanner sca=new Scanner(System.in);
long n,m,k,sum=0,h;
n=sca.nextInt();
m=sca.nextInt();
k=sca.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++){
sum+=(jc(n)/(jc(i)*jc(n-i)))*(long)Math.pow(i, k);
}
h=jc(n)/(jc(m)*jc(n-m));
System.out.println((sum*h)%999101);
}
public static long jc(long a){
long s=1;
for(long j=a;j>0;j--){
s*=j;
}
return s;
}
}因为当数字很大时int已经不够放下数字，所以要设为长整形long。
运行结果：
20
10
10
54327虽然结果仍然是不对但是有所改进。
正确答案：
用到的知识 lucas定理 欧拉定理 或费马小定理 快速幂 数学组合公式推导
lucas定理 求C(n,m)%p
数论Lucas定理：是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）
描述为:
Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;
而
cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p
也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p
这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p
由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p
费马小定理 a^(p-1) mod p=1 (mod p)import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class L_20END {
/***
* @author 林梵
*/
public static BigInteger lucas(BigInteger n,BigInteger m,BigInteger p){
if(m.equals(BigInteger.ZERO)) return BigInteger.ONE;
return BigInteger.valueOf(f(n.mod(p).longValue(),m.mod(p).longValue())).multiply(lucas(n.divide(p),m.divide(p),p)).mod(p);
}
public static long f(long n,long m){
if(m>n) return 1;
if(n==m|| m==0) return 1;
if(m>n-m) m=n-m;
long tmpi=1,tmpn=1,s1=1,s2=1,ans=1;
for (int i = 1; i<=m; i++) {
tmpi=i;
tmpn=n-i+1;
s1=s1*tmpi%999101;
s2=s2*tmpn%999101;
}
ans = s2*pow1(s1,999099)%999101;
return ans%999101;
}
public static long pow1(long x,long n) {
if(x==1) return 1;
if (n==0)
return 1;
else {
while ((n & 1)==0) {
n>>=1;
x=(x *x)%999101;
}
}
long result = x%999101;
n>>=1;
while (n!=0) {
x=(x *x)%999101;;
if ((n & 1)!=0)
result =result*x%999101;
n>>=1;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
BigInteger n = new BigInteger(sc.nextLine());
BigInteger m = new BigInteger(sc.nextLine());
int k = Integer.parseInt(sc.nextLine());
long start = System.currentTimeMillis();
BigInteger md = new BigInteger("999101");
long Cnm=lucas(n, m,md).longValue()%999101;
long sum = 0;
if(Cnm!=0){
int[][] a = new int[k][k];
int h = 1;
for (int i = 0; i < k; i++) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
if (j >= h)
a[i][j] =0;
else {
if (j == 0 || j == h - 1)
a[i][j] = 1;
else {
a[i][j] = (a[i - 1][j - 1]*(h - j)+a[i - 1][j])%999101;
}
}
}
h++;
}
long m1 = 1,n1 =1;
long x=n.subtract(new BigInteger(k+"")).mod(md.subtract(BigInteger.ONE)).longValue();
long n3 = pow1(2,x);
for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
n1=n3*pow1(2,i)%999101;
m1 = m1*(n.subtract(new BigInteger((k - 1 - i) + "")).mod(md).longValue())%999101;
sum = (sum+m1*a[k - 1][i]*n1)%999101;
}
sum = sum*Cnm%999101;
}
System.out.println(sum);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println(end - start);
}
}
--------此代码-------------
作者：林梵
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u010836847/article/details/21166725?utm_source=copy