Newcoder 109 B.好位置（dp）

Description

给出两个串 $s$ 和 $x$

定义 $s$ 中的某一位 $i$ 为好的位置，当且仅当存在 $s$ 的子序列 $y=s_{k_1}...s_{k_{|x|}},1\le k_1<...<k_{|x|}\le |s|$ 满足 $y=x$ 且存在 $j$ 使得 $i=k_j$ 成立。

问 $s$ 中是否所有的位置都是好的位置。

Input

一行两个字符串 $s，x$ ,这两个串均由小写字母构成。

$(1 \le |s|, |x| \le 200000)$

Output

$Yes$ 表示是。 $No$ 表示不是。

Sample Input

abab
ab

Sample Output

Yes

Solution

设 $n=|s|,m=|x|$ ，对于 $s$ 的每个位置 $i$ ，定义 $L[i],R[i]$ 分别为 $s_1...s_i$ 和 $s_{i},...,s_n$ 与 $x$ 的最长公共子序列个数，其中 $L[i]$ 需要保证以 $s_i$ 结尾，如此只要 $L[i]+R[i+1]\ge m$ 则 $i$ 位置合法，下面考虑求 $L,R$

首先求 $L$ ，令 $mx[i]=\max\limits_{1\le j\le i}L[j]$ ，若 $s_i=x_{mx[i-1]+1}$ ，则显然有转移 $L[i]=mx[i-1]+1$ ，否则需要在 $[1,mx[i-1]]$ 中找到最大的位置 $k$ 使得 $s_i=x_k$ ，这样的话 $s_1...s_{i-1}$ 最多可以匹配 $x_1,..,x_{mx[i-1]}$ ，而 $s_i$ 可以匹配 $x_k$ ，进而 $s_1...s_i$ 就可以匹配 $x_1...x_k$ ，故 $L[i]=k$ ，直接找 $k$ 时间复杂度 $O(m)$ ，注意到对于同样的字母 $s_i$ ，其对应的 $k$ 是不减的，故可以通过维护 $x$ 中每种字符的位置，用游标法优化该转移，如此时间复杂度为 $O(n+m)$

而对于 $R$ ，只需把 $s,x$ 两个串均反转，即变成不要求 $s_i$ 结尾的上一问题，按同样的方法求出 $R$ 后，令 $KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 10: R[i]=\max_̲\limits{i\le j\…$ 即可

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=200005;
char s[maxn],x[maxn];
vector<int>a[26];
int n,m,pre[26],dp[maxn],mx[maxn];
int main()
{
	scanf("%s%s",s+1,x+1);
	n=strlen(s+1),m=strlen(x+1);
	for(int i=0;i<26;i++)a[i].clear(),pre[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)a[x[i]-'a'].push_back(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(s[i]==x[mx[i-1]+1])dp[i]=mx[i-1]+1;
		else
		{
			int t=s[i]-'a';
			while(pre[t]<a[t].size()&&a[t][pre[t]]<=mx[i-1])pre[t]++;
			if(pre[t]==0)dp[i]=0;
			else dp[i]=a[t][--pre[t]];
		}
		mx[i]=max(mx[i-1],dp[i]);
	}
	reverse(s+1,s+n+1),reverse(x+1,x+m+1);
	for(int i=0;i<26;i++)a[i].clear(),pre[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)a[x[i]-'a'].push_back(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		mx[i]=mx[i-1];
		if(s[i]==x[mx[i-1]+1])mx[i]++;
		else
		{
			int t=s[i]-'a';
			while(pre[t]<a[t].size()&&a[t][pre[t]]<=mx[i-1])pre[t]++;
			if(pre[t])mx[i]==max(mx[i],a[t][--pre[t]]);
		}
	}
	reverse(mx+1,mx+n+1);
	int flag=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(dp[i]==0||dp[i]+mx[i+1]<m)
		{
			flag=0;
			break;
		}
	printf("%s\n",flag?"Yes":"No");
	return 0;
}

Newcoder 109 B.好位置（dp）

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