hdu 5144 Frogs 数论

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这题的思路还是比较神奇的。
虽然ai的取值范围比较大但与m取gcd之后取值范围就缩小到m的因子范围内。
然后在把0到m-1的数，按与m的最大公约数分类
如果存在ai（与m取最大公约数之后的ai），$a_i|b$，则与m的公约数是b的数都能取到。

#include <bits/stdc++.h>
#define pi acos(-1)
#define pb push_back
#define LL long long
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
#define local freopen("in.txt","r",stdin)
#define input_fast std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
const int MAX = 1000000;
inline void read(int& x){
    int flag = 1; char c; while(((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    c == '-' ? (flag = -1, x = 0) : (x = c - '0');
    while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; } x *= flag;
}

int fac[300],vis[300], cnt;

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int eular(int x){
    int i, res = x;
    for(i = 2; i <= (int)sqrt(x); ++i){
        if(x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(x % i == 0)
                x /= i;
        }
    }
    if(x != 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

int main(){
    int t, ca, n, i, j, tmp;
    LL m, ans;
    scanf("%d", &t);
    for(ca = 1; ca <= t; ++ca){
        ans = 0;
        cnt = 0;
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        scanf("%d%I64d", &n, &m);
        for(i = 1; i <= (int)sqrt(m); ++i){
            if(m % i ==0){
                fac[cnt++] = i;
                if(i * i != m) fac[cnt++] = m / i;
             }
        }
        sort(fac, fac + cnt);
        for(i = 0; i < n; ++i){
            scanf("%d", &tmp);
            tmp = gcd(tmp, m);
            for(j = 0; j < cnt; ++j){
                if(fac[j] % tmp == 0)
                    vis[j] = 1;
            }
        }
        for(i = 0; i < cnt - 1; ++i){
            if(vis[i]){
                ans += m * eular(m / fac[i]) / 2;
            }
        }
        printf("Case #%d: %I64d\n", ca, ans);
    }
    return 0;
}

总结：

1. $ka\%c==kb\%c$,a为任意整数，$b=gcd(a,c)$（前面的等号是指他们的取值集合相同）
2. 一个常见的对整数集分类的方法，是按最大公约数数分类。
3. 小于t且与t互质的数的和$=t\phi(t)\div2$,由此可以猜想$gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$