分数化小数
题目描述
对于一个分数(不一定是最简形式),给出它的小数形式,如果小数有循环节的话,把循环节放在一对圆括号中.
例如,1/4 =0.25
,1/3=0.3333
写成0.(3)
,1/7= 0.142857142857...
写成0.(142857)
。如果结果是一种整数xxx
,则用xxx.0
等表示整数xxx
。
输入包括一行,包括被空格分隔开的分子N和分母D(第一个是N,第二个是D)。
输出包括一行,为转换后的小数形式。
输入样例
45 56
输出样例
0.803(571428)
题目解释
题目中需要求一个 分数 的小数,如果是无限循环小数,则输出 0.xxx(xxx)
的格式。
因此我们考虑,先求出这个小数的 循环起始点(S) 和 循环长度(T)。
我们举个栗子。对于
这种情况。
我们考虑先对
即:
然后我们将这些分数的分子进行
操作, 即:
我们可以明显的发现当操作进行到第 10 次的时候和第 4 次重复了,显然已经形成了一个长度为 6 的循环节,即从第 4 项开始循环。
由此我们可以推广到更一般的情况。假设分数为 ,由于小数部分和整数无关,因此我们可以假设这个分数为真分数。不妨假设 。
由上可知,我们可以把第
个分数写成
因此我们可以假设第
个分数和第
个分数相等,即构成了一个循环节。有
两边同乘
,得
即
又可表示为
令
,设
。即
即
由此可知
因为
和
互质,因此可得
。
由于
为偶数,且
为奇数。
显然
由
和
共同决定,又知
和
的公因数由
和
贡献。
因此
,
为
中贡献的
的个数,
为
中贡献的
的个数。
接下来需要求循环节 。
设
经过一番计算,上式
已经变成了
即
又知
与
互质。式子可化简为
只需要解出
就是我们无限循环小数中的循环节了。即
不妨假设
,即解
由欧拉定理可知,存在最小的
,当
是
的一个因子。
因此我们只需要去枚举所有
的因子,从而找到一个最小的
,使得
。
此时解出的
就是循环节开始的前一位,
即
为循环节的长度。
接下来的任务只需要模拟乘法,按照题目要求输出即可。
但是非常悲伤的事情是,队友暴力模拟 A 了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p, q, S, T, Z;
LL Euler(LL x) {
LL ans = x;
for (LL i = 2; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0) {
ans = (ans/i) * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) ans = (ans/x) * (x - 1);
return ans;
}
LL power(LL a, LL x, LL mod) {
LL ans = 1;
while (x) {
if (x & 1) ans = (ans * a)%mod;
a = (a * a)%mod;
x >>= 1;
}
return ans;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
return b == 0? a:gcd(b, a%b);
}
LL get_first(LL &x) {
LL ans1 = 0, ans2 = 0;
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
ans1++;
}
while (x % 5 == 0) {
x /= 5;
ans2++;
}
return max(ans1, ans2);
}
LL get_T(LL x, LL mod) {
LL Min = 1e18;
for (LL i = 1; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0) {
if (power(10, i, mod) == 1) {Min = min(Min, i); break;}
if (power(10, x/i, mod) == 1) Min = min(Min, x/i);
}
}
return Min;
}
void print(LL p, LL q, LL S, LL T) {
printf("%lld.", p/q);
p -= q * (p/q);
for (int i = 0; i < S + T; i++) {
if (i == S) printf("(");
p *= 10;
printf("%lld", p/q);
p -= q * (p/q);
if (p == 0) break;
if (i == S + T - 1) printf(")");
}
printf("\n");
}
int main()
{
while (scanf("%lld %lld", &p, &q) != EOF) {
LL a = p, b = q;
LL g = gcd(p, q);
p /= g, q /= g;
S = get_first(q);
LL phi = Euler(q);
T = get_T(phi, q);
if (T == 1e18) S = T;
print(a, b, S, T);
}
return 0;
}