算法笔记 4.3 递归 例题 全排列与八皇后

1.全排列

问题描述：

输入一个正整数n，输出1~n的全排列

代码：

#include<iostream>		 
using namespace std;
const int maxn=11;
int n,P[maxn],hashTable[maxn]={false};
void generateP(int index){
	if(index==n+1){//递归边界，已经处理完排列1~n位了
		//可以输出了
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cout<<P[i];
		}
		cout<<endl;
		return;
	}

	for(int x=1;x<=n;x++){ //枚举1~n 试图将x填入P[index] 每次都从小到大枚举所有数字
		if(hashTable[x]==false){//如果x不在P[0]~P[index-1]中（前index-1已经填好了） 
			P[index]=x;	//将x填入P中 也即是index位
			hashTable[x]=true; //记x在P中
			generateP(index+1); //处理排列的第index+1号位
			hashTable[x]=false; //已经处理完P[index]为x的子问题，还原状态，让第index位填其他数字前要先将此x放开，否则没机会了
		}
	}
}

int main(){
	//千万不要二次定义变量n 否则全局变量变成局部变量 害死人
	while(cin>>n){
		generateP(1);//从1开始填
	}
	return 0;
}

2.八皇后问题

方法一：暴力

#include<iostream>		 
using namespace std;

const int maxn=11;
int n,P[maxn],hashTable[maxn]={false};
int count1=0;

void generateP(int index){
	if(index==n+1){//递归边界，生成一个排列
		bool flag=true;//flag==true时表示当前排列是一个合法方案
		for(int i=1;i<=n;i++){//遍历任意两个皇后  所有的两两都要判断（不用相互重复）
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(abs(i-j)==abs(P[i]-P[j])){//若在同一条对角线上
					flag=false;
				}
			}
		}

		if(flag){
			count1++;
			cout<<"方案"<<count1<<":";
			for(int i=1;i<=n;i++){
				cout<<P[i]<<" ";
			}
			cout<<endl;			
		}		
		return;
	}

	for(int x=1;x<=n;x++){ //枚举1~n 试图将x填入P[index] 每次都从小到大枚举所有数字
		if(hashTable[x]==false){//如果x不在P[0]~P[index-1]中（前index-1已经填好了） 
			P[index]=x;	//将x填入P中 也即是index位
			hashTable[x]=true; //记x在P中
			generateP(index+1); //处理排列的第index+1号位
			hashTable[x]=false; //已经处理完P[index]为x的子问题，还原状态，让第index位填其他数字前要先将此x放开，否则没机会了
		}
	}
}

int main(){
	//千万不要二次定义变量n 否则全局变量变成局部变量 害死人
	while(cin>>n){
		count1=0;
		generateP(1);//从1开始填
		cout<<"共有"<<count1<<"种方案！"<<endl;
	}
	return 0;
}

方法2：回溯（前面有不合法就不必要往下再递归了，减少递归次数一种的策略成为回溯）

#include<iostream>		 
using namespace std;

const int maxn=11;
int n,P[maxn],hashTable[maxn]={false};
int count1=0;

void generateP(int index){
	if(index==n+1){//递归边界 生成的一定是合法方案 		
		count1++;
		cout<<"方案"<<count1<<":";
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cout<<P[i]<<" ";
		}
		cout<<endl;
		return;
	}

	for(int x=1;x<=n;x++){ //第x行
		if(hashTable[x]==false){//第x行还没有皇后
			bool flag=true;//flag==true表示当前皇后不会和之前的皇后冲突
			for(int pre=1;pre<index;pre++){//遍历之前的皇后
				//第index列皇后的行号为x,第pre列皇后的行号为P[pre]
				if(abs(index-pre)==abs(x-P[pre])){
					flag=false;//新插入的皇后与之前的皇后在同一条对角线上
					break;
				}
				//每次都与前面已经插入的皇后对比 保证每次都是合法插入 不合法不会插入
			}
			if(flag){
				P[index]=x;
				hashTable[x]=true; 
				generateP(index+1); 
				hashTable[x]=false; 
			}
		}
	}
}

int main(){
	//千万不要二次定义变量n 否则全局变量变成局部变量 害死人
	while(cin>>n){
		count1=0;
		generateP(1);//从1开始填
		cout<<"共有"<<count1<<"种方案！"<<endl;
	}
	return 0;
}