雅可比矩阵

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雅可比矩阵

雅可比

雅可比是多元函数的导数形式。例如有6个函数，每个函数都有6个独立变量
$y_1=f_1(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\\ y_2=f_2(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\\ \vdots \\ y_6=f_6(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\\ \tag{5-58}$
用矢量符号表示为
$Y=F(X)\tag{5-59}$
按照求导法则，有
$\dot Y=J(X)\dot X \tag{5-63}$
在任一时刻，X都有一个确定的值， $J(X)$是一个线性变换。在每一个新时刻，如果X改变，线性变换也会随之改变。所以雅可比是时变的线性变换。

在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来，比如
$^0\text v=^0J(\Theta)\dot \Theta\tag{5-64}$
式中， $\Theta$是操作臂关节矢量， $v$是笛卡尔速度矢量。注意，对于任意已知操作臂位形，关节速度和操作臂末端速度的关系是线性的，然而这种线性关系近视瞬时的。

可以定义任何维数的雅可比（包括非方阵形式）。雅可比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度数，雅可比矩阵的列数等于操作臂的关节数量。例如对于通常的6轴机器人，雅可比是 $6\times 6$阶的矩阵， $\dot\Theta$是 $6\times1$维的， $^0v$也是 $6\times1$维的，这个 $6\times1$笛卡尔速度矢量是一个 $3\times1$的线性速度矢量和一个 $3\times 1$的角速度矢量组合起来的
$^0\text v=\left[\begin{matrix} ^0v \\ ^0w \end{matrix}\right] \tag{5-65}$

雅可比矩阵参考坐标系的变换

我们知道，速度在不同参考坐标系中的描述时不一样的，那么雅可比矩阵也是跟参考坐标系相关的。

已知坐标系{B}中的雅可比矩阵
$\left[\begin{matrix} ^Bv \\ ^Bw \end {matrix}\right]=^B\text v=^BJ(\Theta)\dot\Theta \tag{5-68}$
我们要求雅可比矩阵在另一个坐标系{A}中的表达。已知坐标系{B}中的 $6\times 1$笛卡尔速度矢量可以通过如下变换得到相对于坐标系{A}的表达式
$\left[\begin{matrix} ^Av \\ ^Aw \end {matrix}\right]=\left[\begin{matrix} ^A_BR & 0 \\ 0 &^A_B R \end {matrix}\right]\left[\begin{matrix} ^Bv \\ ^Bw \end {matrix}\right]\tag{5-69}$
因此可以得到
$\left[\begin{matrix} ^Av \\ ^Aw \end {matrix}\right]=\left[\begin{matrix} ^A_BR & 0 \\ 0 &^A_B R \end {matrix}\right] \ ^BJ(\Theta)\dot\Theta\tag{5-70}$
因此，利用下列关系式可以完成雅可比矩阵参考坐标系的变换
$^AJ(\Theta)=\left[\begin{matrix} ^A_BR & 0 \\ 0 &^A_B R \end {matrix}\right] \ ^BJ(\Theta)\tag{5-71}$
另外，雅可比矩阵在某些情况下会出现奇异，这里对此暂不讨论。

参考文献

[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.