力域中的雅可比

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力域中的雅可比

功被定义为作用力通过一定距离，它是以能量为单位的标量。如果令位移趋向于无穷小，就可以用虚功原理来描述静止的情况。功具有能量的单位，所以它在任何广义坐标系下的测量值都相同。特别是在笛卡尔空间做的功等于关节空间做的功。在多维空间，功是一个力或力矩矢量与位移矢量的点积，因此有
$f\cdot \delta\chi=\tau\cdot\delta\Theta \tag{5-91}$
式中 $f$是一个作用在末端执行器上的 $6\times 1$维笛卡尔力-力矩矢量， $\delta\chi$是末端执行器的 $6\times1$维无穷小的笛卡尔位移矢量， $\tau$是 $6\times 1$维关节力矩矢量， $\delta\Theta$是 $6\times 1$维无穷小的关节位移矢量。

式（5-91）向量点乘可以写成下面矩阵乘法的形式
$f^T\delta\chi=\tau^T\delta\Theta \tag{5-92}$
雅可比矩阵的定义为
$\delta\chi=J\delta\Theta \tag{5-93}$
因此可以写出
$f^TJ\delta\theta=\tau^T\delta\Theta \tag{5-94}$
对所有的 $\delta\Theta$，上式均成立，因此有
$f^TJ=\tau^T \tag{5-95}$
对上式两边转置得
$\tau=J^Tf \tag{5-96}$
可见，雅可比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩。当得到相对于坐标系{0}的雅可比矩阵后，可以有下式对坐标系{0}中的力矢量进行变换
$\tau=^0J^T\ ^0f\tag{5-97}$
当雅可比不满秩时，存在某些特定方向，末端执行器在这些方向上不能施加期望的静力。在力域中和位置域中奇异性都是存在的。

参考文献

[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.