博弈论 SG函数的证明

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博弈论

先修： nim博弈
本文介绍：ICG游戏的定义，常用术语，Nim 博弈的证明，SG函数的证明，应用

一. 参考文档

1. 论文Game Threory https://pan.baidu.com/s/11P_rF5ZO-FuTPiNtjxcBlw
2. 论文翻译 https://blog.csdn.net/strangedbly/article/details/51137432

二. 适用范围

适用于 Impartial Combinatorial Games
游戏的胜负仅仅取决于当前状态, 与谁在玩没关系，即如果A在某个状态必赢，那么B在这个状态也必赢

1. 举例子

1. 取石子博弈 : 只与当前的状态有关，谁在必胜态，谁就赢
2. 非ICG，象棋，棋盘上相同的状态（所有的棋子的摆放地点都相同），但是下象棋的人控制的棋子不一样
   在论文中提出了六条判定是ICG的准则

2. 判定是ICG

1. 两个人
2. 当前状态的下一个状态的个数是有限的
3. 对于每一个状态，两个人的能够做的操作的集合是相同的
4. 交替移动
5. 一个人不能移动，就判定为输
6. 游戏会在有限步内终止

三一些术语

1 状态

必胜态： 当前将要移动的人必胜的状态
必输态： 当前将要移动的人必输的状态
结束态： 即当前人不能移动，是必败态
它们有以下关系：
也称为 特性：

• 每一个必胜态的能够转移的状态里面必定有一个必输态
• 每一比必败态的能够转移的状态里面必定都是必胜态
• 每一个结束态都是必败态

2 游戏

1. 减法游戏
   现在有一堆石子，Alice和Bob玩游戏，轮流取石子，每次可以取走 $a_1,a_2,...a_n$个石子，最后不能取的人输。
   做法: 从0 开始递推必败态和必胜态
   论文中还给出了其它有趣的游戏，可以自己去看

四 Nim 游戏

游戏描述：

有N堆石子 $a_0,a_1...a_n$。A B两个人轮流拿，A先拿。每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出N及每堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。
例如：3堆石子，每堆1颗。A拿1颗，B拿1颗，此时还剩1堆，所以A可以拿到最后1颗石子

策略

所有石子的异或和为Nim_sum

1. 如果NIm_sum = 0 ，那么先手必输,即必败态
2. 如果Nim_sum != 0,那么先手必赢，即必胜态

证明

1. $(0,0,0,0,...)$ 是结束态，也是必败态， $Nimsum = 0$

2. 所有的比胜态的下面状态必定有一个是必输态
   即 Nim_sum != 0,令 $2^k <= Nimsum < 2^{k+1}$，那么必定有一个堆在二进制表示的第k+1位为1，假设 $a_i$,于是我们有 $a_i \oplus Nimsum < a_i$ ,从中取出 $a_i-a_i \oplus Nimsum$个石子,使得 $a_0 \oplus a_1\oplus...a_i'...\oplus a_n = 0$

3. 所有的必败态(除了终止态)的下面所有状态都是必胜态,Nim_sum = 0,
   反证法：我们选择任意一个堆取任意石子剩下 $a_i'$ 个石子， $a_1 \oplus a_2 ... a_i'... \oplus a_n = a_1 \oplus a_2 ... a_i... \oplus a_n$，必有 $a_i = a_i'$,不移动任何石子这种情况是不被允许的，Nim_sum = 0的下一个状态必定是Nim_sum != 0

五 SG函数和SG定理

1 The Sprague-Grundy Function.

1. 定义 $g(x) = min{\{n ≥ 0 : n = g(y) \quad y ∈ F(x)\}}. (1)$
   其中g(x)表示x这个状态的SG函数值,F(x) 代表x所有的下一个状态的集合
2. 我们定义一个minimal excludant（mex）函数代表不再一个集合里面的最小非负整数，上面的公式可以改写为
   $g(x) = mex\{g(y) : y ∈ F(x)\}. (2)$
3. 对于终止态，g(x) = 0,因为F(x) 为空, 其他都可以通过这个公式来求
   满足特性:
   (1)如果是终止态，那么 $g(x) = 0;$
   (2) 每一比必败态的能够转移的状态里面必定都是必胜态,即如果g(x) = 0,那么他所有的子状态的 $g(y) != 0$,如果有g(y) = 0,那么g(x) 的值就不会为0了
   (3) 每一个必胜态的能够转移的状态里面必定有一个必输态,如果g(x) != 0,那么肯定有一个子状态 $g(y) = 0$,如果没有g(y) = 0,那么g(x) 就不会为非0了
   SG函数值的意义，如果g(x) = 0，那么x是必败态，如果g(x) != 0,那么x是必胜态

2 The Sprague-Grundy Theorem

如果可以将游戏拆成n个不相关的子游戏，在每一步中你可以选择在一个子游戏中操作，那么有 $g(x_1,x_2...x_n) = g_1(x_1) \oplus g_2(x_2) \oplus ....\oplus g_n(x_n)$
证明如下:
令 $x = (x_1,x_2...x_n)$（向量表示状态）x的子状态 $x'= (x_1,x_2, x_i',...x_n)\quad i \in \{1,..n\}$
$\quad b = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···⊕g_n(x_n)$
证明以下两条：
初始条件 :
有 $0 = 0 \oplus 0 \oplus 0 ... \oplus 0$，所有的子游戏都结束的时候游戏就结束了，此时为必败态,g(x) = 0

(1) 对于所有 非负整数a < b,必定有一个状态 $x&#x27; 使得 g(x&#x27;)= a \quad i \in \{1,..n\}$
(2) 没有一个x的子状态 $x&#x27;$使得 $g(x&#x27;) = b$

(1) : 令 $d = a \oplus b$,令 $2^k &lt;= d &lt; 2^{k+1}$，我们有a在第k+1位为0，b在第k+1位为1，那么必定有一个 $g_i(x_i)$在二进制表示的第k+1位为1， $g_i(x_i) \oplus d &lt; g_i(x_i)$,所以必定有 $g_i(x_i&#x27;) = d \oplus g_i(x_i)$, $a = b\oplus d = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···⊕g_n(x_n) \oplus d = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)···\oplus g_i(x_i&#x27;) .. .⊕g_n(x_n)$
即存在 x’ 使得 g(x’） = a
(2): $b = \quad g_1(x_1)\oplus g_2(x_2)...g_i(x_i)...⊕g_n(x_n)$ , $a = g_1(x_1)\oplus g_2(x_2).. g_i(x_i&#x27;)···⊕g_n(x_n)$
a = b,则必有 $g_i(x_i) = g_i(x_i&#x27;)$ ，即不做改动，这是不被允许的

于是问题得证

六 应用