I. Game on Plane（SG函数博弈论）

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题目描述

给你n个节点的凸包（未连线），每次选择两个点连一条线，不能与之前出现的线有相交。当出现一个凸包的时候游戏结束

谁最后无法移动了就输了，现在问是先手必胜还是后手必胜。

类似题：HDU4664 Triangulation

HDU描述的是当出现一个三角形时游戏结束。其实是一个意思,HDU的范围大一点涉及循环节。

做法：SG函数。如果你是第一次听说SG函数。看链接：知乎

而对于这题的分析呢。

每一个点集都可以被一条直线分割成一个包含两部分的子局面，根据SG函数从前往后推

那么对于当前局面SG（x），它的后继局面为任选两个点连接后，得到的局面是被该线分割成两部分，如果下一个人在这条线的两个端点任意一个出发再连一条线，则下下个人就可以连成三角形使得游戏结束，因此下一个人必不会再从这两个端点连线。因此后继局面为sg(i)与sg(x-i-2) [0<=i<=x-2]

即得到sg函数为：    SG(X)=mex{sg(i)^sg(x-i-2)} [0<=i<=x-2]

对于GYM的这道题直接推SG数组即可。

对于HDU 的打表找循环节

由于数据的n很大，打表出前1000项观察可以得到循环节。。。打表

代码参考来自：博客

/*
因为一条直线把当前局面分割成两个子局面，
i-2是连接完直线后剩下的点，所以两个子局面的异或就是sg[j]^sg[i-2-j]
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5010;
int sg[maxn],s[maxn];
 
void SG()
{
    sg[1]=0,sg[2]=1;
    for(int i=3;i<=5000;i++){
        memset(s,0,sizeof(s));
        for(int j=0;j<=i-2;j++) //所有子局面 
            s[(sg[j]^sg[i-2-j])]=1;
        
        for(int j=0;;j++){
            if(!s[j]){
                sg[i]=j; break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    SG();
    int t; scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n; 
        scanf("%d",&n);
        if(sg[n]) puts("First");
        else puts("Second");
    }
    return 0;
}

HDU 题代码参考：博客

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 10;
int vis[MAXN];
int SG[MAXN];
int mex(int x)
{
    if(SG[x] != -1)
        return SG[x];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i=0;i<=x-2;i++)
        vis[mex(i) ^ mex(x-2-i)] = 1;
    for(int i=0;;i++) if(!vis[i])
    {
        SG[x] = i;
        break;
    }
    return SG[x];
}
int main()
{
    memset(SG, -1, sizeof(SG));
    for(int i=0;i<200;i++)
        SG[i] = mex(i);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n, x;
        scanf("%d", &n);
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            if(x < 100) ans ^= (SG[x]);
            else
            {
                x -= 60;
                x %= 34;
                ans ^= SG[x + 60];
            }
        }
        if(ans) printf("Carol\n");
        else printf("Dave\n");
    }
    return 0;
}

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